Question

O polinômio

P(x) = kx^5+(k+1)x^4 - kx^3+2kx
é divisível por (x+1) . Determine o valor de P(2).

Answer 1

Há algumas formas de resolver esta questão. Vou fazer da forma que julgo mais simples e rápida.

Vamos primeiramente lembrar que, um polinômio pode ser escrito em função de suas raízes (x₁, x₂, x₃, etc) como:  a.(x - x₁)(x - x₂)(x - x₃)...(x - xn)

Com isso, podemos afirmar que, se o polinômio P(x) é divisivel por (x+1), então -1 é uma raiz (ou zero) deste polinômio, ou seja, se substituirmos "x" no polinômio por -1, teremos resultado 0.

Vamos então fazer esta substituição:

$P(-1) = 0\\\\\\k.(-1)^5+(k+1).(-1)^4-k.(-1)^3+2.k.(-1)~=~0\\\\\\k.(-1)+(k+1).(1)-k.(-1)+2.k.(-1)~=~0\\\\\\-k+k+1+k-2k~=~0\\\\\\-k+k+k-2k~=~-1\\\\\\-k=-1\\\\\\\boxed{k=1}$

Com o valor de "k" podemos achar P(2):

$P(2)~=~1.(2)^5+(1+1).(2)^4-1.(2)^3+2.1.(2)\\\\\\P(2)~=~32+2~.~16-1~.~8+4\\\\\\P(2)~=~32+32-8+4\\\\\\P(2)~=~64-4\\\\\\\boxed{P(2)~=~60}$

Resposta: 60