Matemática, perguntado por moniadanielap62lvg, 9 meses atrás

O polinômio de Taylor, de ordem 3, em volta de x com 0 subscrito igual a 0, da função f abre parênteses x fecha parênteses igual a e à potência de x, é:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por erononp6eolj

Explicação passo-a-passo:

O polinômio de Taylor de 3ª ordem é:

$P(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dfrac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3$

Onde:

$f(x)$ a função

$f'(x_0), f''(x_0), f'''(x_0)$ são as derivadas de 1,2,3 ordem da função

$x_0$ é ponto escolhido

Assim,

$x_0 = 0$

$f(x) = f'(x) = f''(x) = f'''(x) = e^x\\f(x_0) = f'(x_0) = f''(x_0) = f'''(x_0) = e^{x0}\\f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 1$

Substituindo,

$P(x) = 1 + 1*(x-0) + \dfrac{1}{2}(x-0)^2 + \dfrac{1}{6}(x-0)^3$

$P(x) = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{6}$

moniadanielap62lvg: Entendi agora, muito obrigada.

malkavian: Realmente, bem explicado e respondido. Acabei de postar outras perguntas da mesma prova, cada uma valendo 30 pontos. Se tu puder ajudar, agradeço!

Respondido por MuriloAnswersGD

Polinômio de ordem 3 da função e^x:

$\huge \boxed{\boxed{\sf P(x)= 1 + x + \dfrac{x^{2} }{2} + \dfrac{x^{3} }{6}}}$

Série de Taylor

A questão pede para obtermos o Polinômio de Taylor de ordem 3, da função e^x, em torno de x = 0, a resolução é bem simples. A série de Taylor é dada pela fórmula:

$\large\sf f(x)=\displaystyle\sum f(c) + \dfrac{f'(c)(x-c)^{1} }{1!} + \dfrac{f''(c)(x-c)^{2} }{2!} +... \dfrac{f'(c)(x-1)^{n} }{n!}$

Vamos calcular os Polinômios de ordem 3. Dado que temos que calcular o valor numérico de e^x e suas derivadas 3 vezes. E para calcular a o valor Numérico, apenas temos que substituir as incógnitas 'x' por zero, vamos lá cálculo abaixo:

Lembrando que a derivada de e^x é a própria e^x, então apenas vamos calcular o valor numérico

$\huge \boxed{\begin{array}{c} \\\sf Valores \: para \: x = 0\\\\\sf f(0)=e^{0} \\ \sf=1\\\\\sf f(0)=e^{0} \\\sf =1\\\\\sf f(0)=e^{0} \\\sf =1\\\:\end{array}}$ ]

Viu que e^0 = 1? Isso é uma propriedade da potenciação, onde diz que um termo elevado a zero é igual a 1. Isso pode ser escrito na fórmula:

$\Huge \boxed{\boxed{ \sf a^{0} =1}}$

Agora que temos as o valor Numérico das Derivadas, vamos lá na fórmula de Taylor e achar o polinômio de ordem 3, Veja Abaixo:

$\large \boxed{\begin{array}{c}\\\sf P_{3}(x)= f(c) + \dfrac{f'(c)(x-c)^{1} }{1!} + \dfrac{f''(c)(x-c)^{2} }{2!} + \dfrac{f'(c)(x-c)^{3} }{3!}\\\\\sf P_{3}(x)= 1 + \dfrac{1(x-0)^{1} }{1!} + \dfrac{1(x-0)^{2} }{2!} + \dfrac{1(x-0)^{3} }{3!}\\\\\sf P_{3}(x)= 1 + \dfrac{x }{1} + \dfrac{x^{2} }{2} + \dfrac{x^{3} }{6}\\\\\sf P_{3}(x)= 1 + x + \dfrac{x^{2} }{2} + \dfrac{x^{3} }{6}\\\: \end{array}}$