Question

O polinômio A(x) do 2º grau quando dividido por x, (x-1) e (x+2) apresenta restos 1, 0 e 4 respectivamente. Calcule A(x).

Answer 1

Olá Magalhães!! Trouxeste uma boa questão!

Sabendo que uma equação do 2º grau com duas raízes reais pode ser representada por $\mathsf{a(x - x')(x - x''), \ onde \ a\neq0}$; fazemos $\mathsf{A(x) = a(x - x')(x - x'')}$.

$\mathsf{De \ acordo \ com \ o \ enunciado,} \\\\ \mathsf{\bullet \ ao \ dividir \ A(x) \ por \ x \ encontramos \ resto \ 1; isto \ posto, \ podemos \ tirar \ que \ A(0) = 1 \ ( deve \ ter \ visto \ isto \ em \ equac\~oes \ polinomiais)}; \\\\ \mathsf{\bullet \ ao \ dividir \ A(x) \ por \ (x - 1) \ encontramos \ resto \ 0; \ com \ isso, \ podemos \ tirar \ que \ A(1) = 0}; \\\\ \mathsf{\bullet \ ao \ dividir \ A(x) \ por \ (x + 2) \ encontramos \ resto \ 4; \ assim, \ podemos \ tirar \ que \ A(- 2) = 4}.$

 Por conseguinte, substituímos cada condição obtida acima na equação fatorada. Segue,

 Ah! esqueci de salientar que o fator de um factor/divisor deixar resto ZERO ao ser dividido implica que ele é um factor da equação também. Ou seja, $\mathsf{A(x) = a(x - 1)(x - x'')}$. Agora sim, prossigamos:

Condição i: A(0) = 1.

$\\ \mathsf{A(x) = a(x - 1)(x - x'')} \\ \mathsf{A(0) = a(0 - 1)(0 - x'')} \\ \mathsf{1 = a \cdot (- 1) \cdot (- x'')} \\ \boxed{\mathsf{ax'' = 1}}$


Condição iii: A(- 2) = 4.

$\\ \mathsf{A(x) = a(x - 1)(x - x'')} \\ \mathsf{A(- 2) = a(- 2 - 1)(- 2 - x'')} \\ \mathsf{4 = a \cdot (- 3) \cdot (- 2 - x'')} \\ \boxed{\mathsf{4 = 6a + 3ax''}}$

 Substituindo a condição i em iii,

$\\ \mathsf{4 = 6a + 3ax''} \\ \mathsf{4 = 6a + 3 \cdot (1)} \\ \mathsf{4 - 3 = 6a} \\ \boxed{\mathsf{a = \frac{1}{6}}}$

 Com efeito, $\boxed{\mathsf{x'' = 6}}$.

 Logo,

$\\ \mathsf{A(x) = a(x - x')(x - x'')} \\\\ \mathsf{A(x) = \frac{1}{6} \cdot (x - 1) \cdot (x - 6)} \\\\ \mathsf{A(x) = \frac{1}{6} \cdot (x^2 - 7x + 6)} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{A(x) = \frac{x^2}{6} - \frac{7x}{6} + 1}}}$