Question

O polinômio 2x³ + ax² - bx admite as raízes 1 e 2. Determine os valores dos coeficientes a e b.​

Answer 1

Perceba que o polinômio não possui termo independente, todos os termos tem x. Ou seja, a terceira raiz é necessariamente 0.

Um polinômio de 3° grau possui três raízes ao total. Pode-se escrever o polinômio conhecendo suas raízes da seguinte maneira:

$p(x) = K \cdot (x - r_1) \cdot (x - r_2) \cdot (x - r_3)$

Onde K é uma constante de proporcionalidade e $r_1\text{ , }r_2 \text{ e } r_3$ são as três raízes.

K é o termo que multiplica o $x^3$, assim, K = 2. Dado que x = 1, x = 2 e x = 0 são as três raízes.

$p(x) = 2 \cdot (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 0)$

Abrindo a multiplicação:

$p(x) = 2 \cdot (x^2 - 3 \cdot x + 2) \cdot x$

$p(x) = 2 \cdot (x^3 - 3 \cdot x^2 + 2 \cdot x)$

$\boxed{p(x) = 2 \cdot x^3 - 6 \cdot x^2 + 4 \cdot x}$

Agora, apenas comparando o polinômio do enunciado com este acima, descobre-se que:

$\boxed{a = -6}$

e:

$\boxed{b = -4}$