Question

O polígono regular cujo número de diagonais excede de 3 o número de lados possui a medida de seu ângulo interno igual a:
(A) 60º
(B) 72º
(C) 150º
(D) 120º

Answer 1

$n+3=d\\\\ n+3=\dfrac{n(n-3)}{2}\\\\ 2n+6=n^2-3n\\\\ n^2-5n-6=0\\\\ \Delta=b^2-4\cdot a\cdot c\\ \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-6)\\ \Delta=25+24\\ \Delta=49\\\\n=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm7}{2}\Longrightarrow\begin{cases}n_1=\frac{12}{2}=6\\n_2=\frac{-2}{2}=-1\end{cases}$

Já que o número de lados de um polígono não pode ser negativo, concluímos que ele tem 6 lados. Agora podemos calcular a medida de seu ângulo interno, que chamaremos de $\alpha$:

$\alpha=\dfrac{180(n-2)}{n}=\dfrac{180(6-2)}{6}=30\cdot4=120^{\circ}\Longrightarrow Letra\;D$