Question

O polígono convexo que possui 54 diagonais é o: *

10 pontos

Icoságono.

Dodecágono.

Eneágono.

Decágono.

​

Answer 1

Resposta:

dodecagono

Explicação passo-a-passo:

dodecagono

Answer 2

O polígono convexo que possui 54 diagonais é o:

$\large \text{ \sf{ \boxed{\boxed{\sf Dodec\acute{a}gono}}} }$

Explicação passo-a-passo:

A fórmula usada para determinar o número de diagonais do polígono é:

$\large \text{ \sf{d = \dfrac{n \cdot(n - 3)}{2} } }$

Substituindo o número de diagonais d e fazendo os cálculos possíveis, teremos:

$\large \text{ \sf{ 54 = \dfrac{n \cdot(n - 3)}{2} } }$

$\large \text{ \sf{ 54 = \dfrac{n {}^{2} - 3n }{2} } }$

$\large \text{ \sf{2 \cdot54 = n {}^{2} - 3n } }$

$\large \text{ \sf{ 108 = n {}^{2} - 3n } }$

$\large \text{ \sf{ 0 = n {}^{2} - 3n - 108 } }$

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontraremos o número de lados do polígono. A saber, os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = - 3 e c = - 108. O discriminante dessa equação é:

$\large \text{ \sf{\Delta = b {}^{2} - 4 \cdot a \cdot c } }$

$\large \text{ \sf{\Delta = ( - 3) {}^{2} - 4 \cdot1 \cdot( - 108)} }$

$\large \sf{\Delta = 9 + 432}$

$\large \sf{\Delta = 441 }$

Usando a fórmula de Bháskara, teremos:

$\large \text{ \sf{n = \dfrac{ - b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} } }$

$\large \text{ \sf{n = \dfrac{ - ( - 3) \pm \sqrt{441} }{2 \cdot1} } }$

$\large \text{ \sf{n = \dfrac{3 \pm21}{2} \begin{cases} \sf n_1 = \dfrac{3 + 21}{2} = \dfrac{24}{2} = 12 \\ \\ \sf n_2 = \dfrac{3 - 21}{2} = \dfrac{ - 18}{2} = - 9 \end{cases} } }$

Como não é possível que um polígono possua -9 lados, o polígono com 54 diagonais possui 12 lados, esse polígono é o dodecágono.