Question

O polígono ABCDE da figura a seguir é formado pela união de um triângulo retângulo ABC de catetos 15 e 8 com o trapézio ACDE de bases 15 e 9 e de altura 4. Qual é a área do polígono ABCDE ?

Primeira imagem

Agora introduza um sistema de coordenadas cartesiano no plano desse polígono e, em relação a esse sistema de coordenadas, faça o que se pede.

(a) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D e E.

(b) Determine as coordenadas do ponto P sobre o segmento DE de modo que o segmento BP divide o polígono em duas regiões ABPE e BCDP de mesma área.

Segunda imagem

Answer 1

Resposta:

As respostas são:

• Área do polígono ABCDE:

108 u.a. (unidades de área)

• Coordenadas dos vértices:

A(0,0); B(0,8); C(15,0); D(15,-4); E(6,-4)

• Coordenadas do ponto P

P(11,-4)

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos utilizar um conceito de geometria analítica relacionado com a condição de alinhamento de pontos.

O cálculo da área de um polígono é dado por:

$A=\dfrac{|OCAP|}{2}$

Para determinar a área do polígono ABCDE temos a soma das áreas do triângulo retângulo com a área do trapézio.

$A_{ABCDE}=A_{ABC}+A_{ACDE}\\\\A_{ABCDE}=\dfrac{8\cdot 15}{2}+\dfrac{(9+15)\cdot4}{2}\\\\A_{ABCED}=60+48\\\\A_{ABCDE}=108 \ u.a.$

(a) Construindo um sistema cartesiano ortogonal fazendo coincidir o vértice A da figura com a origem vamos obter as seguintes coordenadas para os vértices do polígono conforme apresentado na figura abaixo:

A(0,0); B(0,8); C(15,0); D(15,-4); E(6,-4)

(b) Utilizando o OCAP e atribuindo as coordenadas de P(x, -4) temos:

$A_{ABPE}=A_{BCDP}=54\\\\A_{ABPE}=\dfrac{\begin{vmatrix}0 & 0 & x & 6 & 0\\ 0 & 8 & -4 & -4& 0\end{vmatrix}}{2}=54\\\\8x-24+4x=108\\\\12x = 132\\\\x=11$