Question

O poliedro convexo que inspirou a bola de futebol é formado de faces regulares pentagonais e hexagonais. O número total de vértices é 60 e o de arestas é 90. Quantas são as faces hexagonais ?
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20

Answer 1

Resposta: pronto aluno

Resolução:

Vamos chamar as faces pentagonais de x e as faces hexagonais de y. Assim, o total de faces será dado pela relação: F = x + y.

O número de arestas é 90, segundo o problema. Porém, ser formos calcular a partir dos dados acima, teríamos: 5 x + 6 y.

Porém, desta forma, cada uma delas é contada duas vezes, a realção correta é: 2 A = 5 x + 6 y. Logo, 5 x + 6 y = 180 (Equação 1).

Lançando as informações básicas na Relação de Euler, temos:

V + F = A + 2  60 + x + y = 90 + 2  x + y = 92 – 60  x + y = 32 (Equação 2).

As Equações 1 e 2 forma um sistema de equações cuja solução é:

x = 12 e y = 20.

Como queremos o número de faces hexagonais, dado por y, então a resposta do problema é: O poliedro tem 20 faces hexagonais.

Answer 2

$\mathrm{O\ poliedro\ convexo\ tem\ 60\ v\acute{e}rtices}\ (V=60)\ \mathrm{e\ 90\ arestas}\ (A=90).$

$\mathrm{Sendo}\ n\ \mathrm{o\ n\acute{u}mero\ de\ faces\ pentagonais\ e}\ m\ \mathrm{o\ n\acute{u}mero\ de\ faces\ hexagonais.}$

$\mathrm{O\ n\acute{u}mero\ de\ faces\ ser\acute{a}\ igual}\ \text{a:}$

$V+F=A+2\Longrightarrow 60+F=90+2\Longrightarrow F=32 \Longrightarrow n+m=32$

$\mathrm{O\ n\acute{u}mero\ de\ arestas\ ser\acute{a}\ igual}\ \text{a:}$

$A=90\Longrightarrow \dfrac{5n+6m}{2}=90\Longrightarrow 5n+6m=180$

$\text{Dessa\ forma:}$

$5n+6(32-n)=180\Longrightarrow 5n+192-6n=180\ \therefore\ \boxed{n=12}$

$\mathrm{Al\acute{e}m}\ \text{disso:}$

$m=32-n\Longrightarrow m=32-12\ \therefore\ \boxed{m=20}$

$\mathrm{O\ poliedro\ em\ quest\tilde{a}o\ tem\ 12\ faces\ pentagonais\ e\ 20\ faces\ hexagonais.}$

$\mathrm{Letra\ E.}$