Question

O plano tangente de f(x,y) = x² + y² em (1,1,2) é:

Answer 1

                            $z-2=f_x(1,1)(x-1)+f_y(1,1)(y-1)\\ \\ z-2=2(x-1)+2(y-1)\\\\ \boxed{2x+2y-z=2}$

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície pelo respetivo ponto é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 2x + 2y - z - 2 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases}s: z = f(x, y) = x^{2} + y^{2}\\T(1, 1, 2)\end{cases}$

Organizando a equação da superfície, temos:

             $\Large\begin{cases} s: x^{2} + y^{2} - z = 0\\T(1, 1, 2)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície por um determinado ponto de tangência, temos que ter um ponto "T" pertencente ao plano bem como o vetor normal "n" ao plano aplicado ao referido ponto "P", ou seja, precisamos dos seguintes itens:

                $\Large\begin{cases} T(X_{T},Y_{T},Z_{T})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n}, Y_{n},Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A partir de agora, todas as vezes que me referir à função "f" estarei me referindo à função que originou a superfície.

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

• Verificar se o ponto "T" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "T" na equação da superfície. Então, temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1^{2} + 1^{2} - 2 = 0\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 + 1 - 2 = 0\end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

        Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "T" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = 2\cdot x^{2 - 1} = 2x\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = 2\cdot y^{2 - 1} = 2y\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\cdot z^{0} = -1\cdot 1 = -1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2x,2y, -1)\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla f(x, y, z) = (2x, 2y, -1)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal.

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(T)\end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{T},\,\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{T},\,\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{T}\Bigg)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2\cdot1, 2\cdot1, -1)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 2, -1)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (2, 2, -1)\end{gathered} }$

• Montar a equação geral do plano tangente à superfície.

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "T" quanto as coordenadas do vetor "n" na equação "I" temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2\cdot x + 2\cdot y + (-1)\cdot z = 2\cdot1 + 2\cdot1 + (-1)\cdot2\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 2y - z = 2 + 2 - 2\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 2y - z = 2\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2x + 2y - z - 2 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente à superfície é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 2x + 2y - z - 2 = 0\end{gathered}$

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Solução gráfica (figura):