Question

O plano tangente a uma superfície é aquele que toca a superfície em um único ponto , sendo calculado por meio do vetor Gradiente, para o vetor gradiente de uma função é válido destacar que seu cálculo envolve derivadas parciais da função com relação a cada uma de suas variáveis Considere a superfície cuja equação é dada por z=e^ -x²-y², com relação ao ponto(0,0,1) , é correto afirmar que :
a)z=1
B)z=x+1
C)z=0
D)z=1+y
É)x=y

Answer 1

Utilizando derivadas parciais temos que o plano tangente é dado por z=1, Letra a).

Explicação passo-a-passo:

A equação de um plano tangente para um função f(x,y) é dada por:

$z=f(xo,yo)+\frac{df(xo,yo)}{dx}(x-xo)+\frac{df(xo.yo)}{dy}(y-yo)$

Então derivando a função dada para substituir na equação do plano depois:

$f(x,y)=e^{-x^2-y^2}$

$f(0,0)=e^{-0^2-0^2}=1$

Derivada em x:

$\frac{df(x,y)}{dx}=-2xe^{-x^2-y^2}$

$\frac{df(0,0)}{dx}=-2.0.e^{-0^2-0^2=0$

Derivada em y:

$\frac{df(x,y)}{dy}=-2ye^{-x^2-y^2}$

$\frac{df(0,0)}{dy}=-2.0.e^{-0^2-0^2=0$

Então substituindo estas derivadas na função do plano:

$z=f(xo,yo)+\frac{df(xo,yo)}{dx}(x-xo)+\frac{df(xo.yo)}{dy}(y-yo)$

$z=1+0.x+0.y$

$z=1$

Letra a).

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à referida superfície é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z = 1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Portanto, a opção correta é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:A\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

       $\Large\begin{cases} s: z = e^{-x^{2} - y^{2}}\\T(0, 0, 1)\end{cases}$

Organizando a equação da superfície, temos:

       $\Large\begin{cases} s: e^{-x^{2} - y^{2}} - z = 0\\T(0, 0, 1)\end{cases}$

Para calcular a equação do plano tangente a uma determinada superfície devemos ter um ponto pertencente à superfície e um vetor normal passando pelo ponto, ou seja:

            $\Large\begin{cases} T(X_{T}, Y_{T}, Z_{T})\\\vec{n_{\pi}} = (X_{n}, Y_{n}, Z_{n})\end{cases}$

Além disso, devemos montar a equação do plano tangente utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$      $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A partir de agora, todas as vezes que me referir à função "f" estarei me referindo à função que originou a superfície.

Para montar a equação do plano tangente, devemos:

• Verificar se o ponto "T" pertence à superfície "s". Caso positivo, existe sim plano tangente à referida superfície. Caso contrário, não existe plano tangente. Para isso, devemos substituir as coordenadas do ponto "T" na equação da superfície. Então, temos:

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} e^{-x^{2} - y^{2}} - 1 = 0\end{gathered} }$    

                          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} e^{-0^{2} - 0^{2}} - 1 = 0\end{gathered} }$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 1 - 1 = 0\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

         Como, ambos os membros da equação "II" são iguais, então o ponto "T" pertence à referida superfície. Então, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = -2xe^{-x^{2} - y^{2}}\end{gathered} }$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = -2ye^{-x^{2} - y^{2}}\end{gathered} }$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = -1\cdot z^{1 - 1} = -1\cdot z^{0} = -1\cdot 1 = -1\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = (-2xe^{-x^{2} - y^{2}},\,-2ye^{-x^{2} - y^{2}},\,-1)\end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\nabla f(x, y, z)= (-2xe^{-x^{2} - y^{2}},\,-2ye^{-x^{2} - y^{2}},\,-1)\end{gathered} }$

• Montar o vetor normal.

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(T)\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{T},\,\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{T},\,\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{T}\right)\end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = (-2\cdot0\cdot e^{-0^{2} - 0^{2}},\,-2\cdot0\cdot e^{-0^{2} - 0^{2}},\,-1)\end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (0, 0, -1)\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n_{\pi}} = (0, 0, -1)\end{gathered} }$

• Montar a equação do plano tangente à superfície.

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "T" quanto as coordenadas do vetor "n" na equação "I" temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0\cdot x + 0\cdot y + (-1)\cdot z = 0\cdot0 + 0\cdot0 + (-1)\cdot1\end{gathered}$

                                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} -z = -1\end{gathered}$

                                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = 1\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente à superfície é:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi : z = 1\end{gathered}$

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Veja a solução gráfica representada na figura: