Question

O plano α que passa pelo ponto A = (1,0,2) é perpendicular aos planos π1: 3x-2y-z-6+0 e π2: x-2y+4z-3=0 . determinar a equaçao do plano α .

Answer 1

Três planos são perpendiculares entre si se os vetores perpendiculares a eles forem também da mesma forma entre si.

Assim, o produto vetorial entre os vetores perpendiculares planos π1 e π2 (Vetores U e V) devem resultar no vetor W perpendicular ao plano α.

Dado a equação do plano ax+by+cz+d=0, o vetor perpendicular a ele é (a,b,c) (Forma reduzida de: ai+bj+ck).

Aplicando aos planos π1 e π2, temos, respectivamente:

U=(3,-2,-1) e V=(1,-2,4)

Como W é perpendicular a U e V simultaneamente, então:

W=U X V
W=(3,-2,-1) X (1,-2,4)
W=(-10,-13,-4)

Aplicando a fórmula de forma oposta temos que o plano α é da forma:

-10x-13y-4z+d=0

Para achar o d, basta fazer a interseção com o ponto A, substituindo os valores de x,y,z e satisfazer a igualdade.

Substituindo, temos:

-10*1-13*0-4*2+d=0
-10-8+d=0
d=18

Então a equação do plano α é:

-10x-13y-4z+18=0

Dúvidas? Comente.

Answer 2

Seja  $\overset{\to}{\mathbf{v}}=(a,\,b,\,c)$  um vetor normal ao plano  $\alpha$  procurado:

     $\alpha:~~ax+by+cz+d=0$


O plano  $\alpha$  é simultaneamente perpendicular aos planos  $\pi_1$  e  $\pi_2,$  cujas equações gerais são

     $\pi_1:~~3x-2y-z-6=0\\\\ \pi_2:~~x-2y+4z-3=0$


Das equações acima, obtemos as coordenadas de vetores normais para  $\pi_1$  e  $\pi_2,$  respectivamente:

     $\overset{\to}{\mathbf{n}}{_1}=(3,\,-2,\,-1)\quad\textsf{ e }\quad\overset{\to}{\mathbf{n}}{_2}=(1,\,-2,\,4).$


Dois planos são perpendiculares somente se seus vetores normais forem ortogonais entre si.

—————

     •   Critério de ortogonalidade entre dois vetores:

     "Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles é igual a zero."

—————

Então, devemos ter

     $\left\{\!\begin{array}{l}\overset{\to}{\mathbf{v}}\cdot \overset{\to}{\mathbf{n}}{_1}=0\\\\ \overset{\to}{\mathbf{v}}\cdot \overset{\to}{\mathbf{n}}{_2}=0\end{array}\right.\\\\\\\\ \left\{\!\begin{array}{l}(a,\,b,\,c)\cdot (3,\,-2,\,-1)=0\\\\ (a,\,b,\,c)\cdot (1,\,-2,\,4)=0\end{array}\right.\\\\\\\\ \left\{\!\begin{array}{lc}3a-2b-c=0\qquad\mathbf{(i)}\\\\ a-2b+4c=0\qquad\mathbf{(ii)}\end{array}\right.$


Isole  c  na equação  (i),  e substitua na equação  (ii):

     $c=3a-2b\qquad\mathbf{(iii)}$



     $a-2b+4(3a-2b)=0\\\\ a-2b+12a-8b=0\\\\ 13a-10b=0\\\\ 13a=10b\\\\ b=\dfrac{13}{10}\,a\qquad\mathbf{(iv)}$


Substituindo em  (iii),  obtemos

     $c=3a-2\cdot \dfrac{13}{10}\,a\\\\\\ c=\dfrac{30}{10}\,a-\dfrac{26}{10}\,a\\\\\\ c=\dfrac{4}{10}\,a\qquad\mathbf{(v)}$


Então os vetores normais de  $\alpha$  são da forma

     $\overset{\to}{\mathbf{v}}=(a,\,b,\,c)\\\\ \overset{\to}{\mathbf{v}}=\left(a,\,\dfrac{13}{10}\,a,\,\dfrac{4}{10}\,a\right)\\\\\\ \overset{\to}{\mathbf{v}}=\dfrac{a}{10}\,(10,\,13,\,4),\qquad a\in\mathbb{R}.$


Podemos tomar  $a=10$  e um vetor normal para  $\alpha$  será

     $\overset{\to}{\mathbf{v}}=(10,\,13,\,4).$

—————

Como o ponto  $A(1,\,0,\,2)$  pertence ao plano  $\alpha,$   uma equação para  $\alpha$  é

     $\alpha:~~10(x-x_{_A})+13(y-y_{_A})+4(z-z_{_A})=0\\\\ \alpha:~~10(x-1)+13(y-0)+4(z-2)=0\\\\ \alpha:~~10x-10+13y+4z-8=0\\\\ \alpha:~~10x+13y+4z-10-8=0$

     $\boxed{\begin{array}{c}\alpha:~~10x+13y+4z-18=0 \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{resposta.}$


Bons estudos! :-)