Question

O plano pi:3x+2y+4z-12=0

Answer 1

Aplicando os conceitos de geometria analítica no R³, como produto vetorial e produto misto, temos as seguintes soluções:

a) A área do triângulo ABC vale:

$\dfrac{6\sqrt{29}}{2} \ u.a.$

b) A altura relativa ao lado AC é o segmento BH de medida:

$\dfrac{6\sqrt{29}}{5} \ u.c.$

c) O volume do tetraedro é dado por:

$12 \ u.v.$

Geometria Analítica R³

Para responder a esta questão vamos aplicar o Produto Vetorial para calcularmos a área do triângulo ABC e a altura do triângulo e o Produto Misto para obtermos o volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A, B, C e O (origem do sistema de coordenadas ortogonais).

a) Área do Triângulo ABC.

Inicialmente devemos obter as coordenadas dos pontos A, B e C que são os vértices do triângulo e para tal basta fazermos duas as duas as componentes x, y e z nulas.

Dada a equação do plano $\pi: 3x+2y+4z-12=0$ teremos:

• Coordenadas do Vértice A

$y=z=0\Rightarrow 3x-12=0\Rightarrow x=4\Rightarrow A=(4,0,0)$

• Coordenadas do Vértice B

$x=z=0\Rightarrow 2y-12=0\Rightarrow y=6\Rightarrow B=(0,6,0)$

• Coordenadas do Vértice C

$x=y=0\Rightarrow 4z-12=0\Rightarrow z=3\Rightarrow C=(0,0,3)$

Para calcularmos a área do triângulo basta calcularmos a metade do produto vetorial entre dois dos vetores diretores dos lados do triângulo.

Tomando como referência o vértice A calculamos os vetores AB e AC.

• Vetor AB ⇒ $\vec{AB}=B-A=(0,6,0)-(4,0,0)=(-4,6,0)$
• Vetor AC ⇒ $\vec{AC}=C-A=(0,0,3)-(4,0,0)=(-4,0,3)$

Aplicando o módulo do produto vetorial obtemos:

$A_{ABC}=\dfrac{|\vec{AB}\times \vec{AC}|}{2}\\\\A_{ABC}=\dfrac{\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&6&0\\-4&0&3\end{vmatrix}}{2}\\\\A_{ABC}=\dfrac{|18\vec{i}+12\vec{j}+24\vec{k}|}{2}\\\\A_{ABC}=\dfrac{\sqrt{18^2+12^2+24^2}}{2}\\\\A_{ABC}=\dfrac{6\sqrt{29}}{2} \ u.a.$

b) Altura relativa à base AC

Neste caso queremos determinar a altura do triângulo a partir do vértice B, que pode ser obtida da seguinte forma:

$d(B,\vec{AC})=\dfrac{|\vec{AB}\times \vec{AC}|}{|\vec{AC}|}$

Utilizando o resultado obtido no item a)

$|\vec{AB}\times \vec{AC}|=6\sqrt{29}$

Calculamos o módulo do vetor AC.

$|\vec{AC}|=\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}\\\\|\vec{AC}|=5$

Substituindo na expressão da distância temos:

$d(B,\vec{AC})=\dfrac{|\vec{AB}\times \vec{AC}|}{|\vec{AC}|}\\\\\\d(B,\vec{AC})=\dfrac{6\sqrt{29}}{5} \ u.c.$

c) Volume do Tetraedro

Para calcularmos o volume do tetraedro tomando como referência o vértice A precisamos obter os vetores AB, AC e AO para aplicar o produto misto. Como já temos as coordenados dos vetores AB e AC vamos calcular as coordenadas do vetor AO.

$\vec{AO}=O-A=(0,0,0)-(4,0,0)=(-4,0,0)$

O volume do tetraedro é dado por:

$V_{tetraedro}=\dfrac{1}{6}\cdot |\vec{AB}\cdot (\vec{AC}\times \vec{AO})|$

Substituindo as coordenadas dos vetores teremos:

$V_{tetraedro}=\dfrac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix}-4&6&0\\-4&0&3\\-4&0&0\end{vmatrix}\\\\V_{tetraedro}=\dfrac{|-72|}{6}\\\\V_{tetraedro}=12 \ u.v.$

Para saber mais sobre Geometria Analítica no R³ acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/49471526

#SPJ1