Question

o plano contem os ponto A(1,-2,2) e B(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano
pi:2x+y-z+8=0 determine a equação geral do plano.

Answer 1

Boa noite.

Tomemos o vetor $\vec{AB}$ paralelo ao plano. Temos que 

$\vec{AB}=-4\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k}$

Além disso, pelo fato de o plano ser perpendicular a π, ele deverá ser paralelo ao vetor normal desse segundo plano, dado por:

$\vec{n_\pi}=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}$

Logo, o produto vetorial $\vec{AB}\ \times \ \vec{v}_\pi = \vec{v}$

Será perpendicular ao plano procurado.

$\vec{v}=(-4\vec{i}+3\vec{j}-4\vec{k})\times(2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k})\\ \\ \vec{v}=-4\vec{k}-4\vec{j}+-6\vec{k}-3\vec{i}-8\vec{j}+4\vec{i}\\ \\ \vec{v}=\vec{i}-12\vec{j}-10\vec{k}$

Tomando um ponto $P(x,y,z)$ arbitrário do plano procurado, temos que:

$\vec{AP}\cdot\vec{v}=0\\ \\ (x-1, \ y+2, \ z-2)\cdot(1, \ -12, \ -10)=0\\ \\ x-1-12y-24-10z+20=0\\ \\ \boxed{x-12y-10z-5=0}$