Question

O planeta Saturno apresenta um grande número de satélites naturais. Dois deles são Encélado e Titan. Os raios de suas órbitas podem ser medidos em função do raio de Saturno, Rs.
Dessa forma, o raio da órbita de Encélado vale 4Rs e o Raio da órbita de Titan vale 20Rs, sendo T(e) e T(t), respectivamente, os intervalos de tempo que Encélado e Titan levam para dar uma volta completa ao redor de Saturno, qual é a razão T(t)/T(e), aproximadamente?

a) 11,2
b) 8,4
c) 5,0
d) 0,8
e) 0,2

Answer 1

Olá!

Existem diferentes formas de resolver a questão, por exemplo usando a 1ra Leis de Newton junto com a aceleração centrípeta, ou também aplicando a Leis de Kepler.

A maneira mais simples é pela terceira Lei de Kepler, vamos a lembrar que ela establece que: o quadrado do período de revolução de qualquer planeta T (tempo usado para descrever sua órbita completa) é proporcional ao cubo da distância média desse planeta ao Sol:

$\frac{T^2}{R^3}=k$

Onde:

T = tempo

R = Comprimento do semi-eixo maior

k = constante válida para todos os planetas do sistema solar.

Então como temos que determinar a razão de T(t)/T(e), subsituimos os valores dados na equação, para ambos casos:

$\frac{T^2_e}{(4R)^3}=\frac{T^2_t}{(20R)^3}\\\\ \frac{T^2_e}{64R^3}=\frac{T^2_t}{8000R^3}$

Agora isolamos T(t)/T(e) e temos:

$\frac{T_t}{T_e} =\sqrt{\frac{8.000}{64}}\\\\ \frac{T_t}{T_e} =\sqrt{125}\\\\ \frac{T_t}{T_e} = 11,18 \approx 11,2$

Assim a alternativa correta é: a) 11,2

Answer 2

Vamos usar uma das leis de Kepler para resolver esse problema:

$R³/T²= k$

De acordo com os dados do problema, vamos esquacionar:

$Rt³/Tt²= Re³/Te²$

Jogando esses dados no equacionamento, obteremos:

$(20Rs)³/(4Rs)³ = Tt²/Te²$

Podemos cortar Rs, ficando com:

$8000/64= Tt²/Te²$

Portanto:

$\sqrt{125} = Tt/Te ≈ 11,2$

Espero ter ajudado!! :)