O planejamento de um bairro de uma cidade com grande expansão populacional foi feito considerando uma região plana, com quadras de mesma dimensão sendo delimitadas por ruas paralelas e perpendiculares. O esboço desse projeto foi realizado e feita uma representação do bairro no plano cartesiano localizando-o no segundo quadrante, no qual as distâncias nos eixos coordenados são consideradas em quilômetros, conforme figura exposta a seguir.
O percurso de uma linha de transporte coletivo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade é representado pela reta r. Considere que no ponto P1 de coordenadas (-5,5) localiza-se um hospital universitário público e no ponto P2 , de coordenadas (x,y), um ponto de transporte coletivo. Assinale a alternativa que expressa a localização de P2 de forma que sua distância em relação ao hospital, medida em linha reta, não seja maior que 5 km e a equação que representa a reta r.
a) P2 (-5, 0), r: y=x+4.
b) P2 (-3, 1), r: y=-x+4.
c) P2 (0,4), r: y=x-4.
d) P2 (-3, 1), r: y=x+4.
e) P2 (2, 6), r: y=x+4.
Anexos:
Soluções para a tarefa
Respondido por
6
Boa noite Roger!
Solução!
Primeiro vamos determinar a reta r que esta no plano,a qual representa a passagem do coletivo para outros bairros.
Os pontos onde a reta r passa são esses.
Conhecendo os pontos vamos determinar o coeficiente angula da reta r.
![m= \dfrac{yT-yP}{xT-xP}\\\\\\\
m= \dfrac{0-4}{-4-0}\\\\\\\
m= \dfrac{-4}{-4}\\\\\\\
\boxed{m=1}](https://tex.z-dn.net/?f=m%3D+%5Cdfrac%7ByT-yP%7D%7BxT-xP%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Am%3D+%5Cdfrac%7B0-4%7D%7B-4-0%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Am%3D+%5Cdfrac%7B-4%7D%7B-4%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C+%0A%5Cboxed%7Bm%3D1%7D "m= \dfrac{yT-yP}{xT-xP}\\\\\\\
m= \dfrac{0-4}{-4-0}\\\\\\\
m= \dfrac{-4}{-4}\\\\\\\
\boxed{m=1}")
Equação da reta r,para isso pode pegar qualquer um dos pontos P ou T.
![P(0,4)\\\\\
m=1\\\\\
Substituindo~~na~~formula.\\\\\
y-yP=m(x-xP)\\\\\\
y-4=1(x-0)\\\\\
y-4=x+0\\\\\
\boxed{y=x+4}~~\Rightarrow ~~Eq:~~da~~reta~~r](https://tex.z-dn.net/?f=P%280%2C4%29%5C%5C%5C%5C%5C%0Am%3D1%5C%5C%5C%5C%5C%0ASubstituindo%7E%7Ena%7E%7Eformula.%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0Ay-yP%3Dm%28x-xP%29%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Ay-4%3D1%28x-0%29%5C%5C%5C%5C%5C%0Ay-4%3Dx%2B0%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7By%3Dx%2B4%7D%7E%7E%5CRightarrow+%7E%7EEq%3A%7E%7Eda%7E%7Ereta%7E%7Er%0A "P(0,4)\\\\\
m=1\\\\\
Substituindo~~na~~formula.\\\\\
y-yP=m(x-xP)\\\\\\
y-4=1(x-0)\\\\\
y-4=x+0\\\\\
\boxed{y=x+4}~~\Rightarrow ~~Eq:~~da~~reta~~r")
Para determinarmos a coordenada do ponto P2(x,y),vamos determinar mais uma reta e fazer sua intersecção para isso precisamos do coeficiente angular da reta perpendicular chamada de r.
![ms=1\\\\\
mr\times ms=-1\\\\\\
mr\times 1=-1\\\\\\
mr= \dfrac{-1}{1}\\\\\
\boxed{mr=-1}](https://tex.z-dn.net/?f=ms%3D1%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0Amr%5Ctimes+ms%3D-1%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Amr%5Ctimes+1%3D-1%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Amr%3D+%5Cdfrac%7B-1%7D%7B1%7D%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7Bmr%3D-1%7D+ "ms=1\\\\\
mr\times ms=-1\\\\\\
mr\times 1=-1\\\\\\
mr= \dfrac{-1}{1}\\\\\
\boxed{mr=-1}")
Como o problema esta dentro do quarto quadrante,vamos pegar o ponto chamado de K.
![k(-2,0)\\\\
mr=-1\\\\\\
y-0=-1(x+2)\\\\\
y-0=-x-2\\\\\\
\boxed{r:y=-x-2}\\\\\
r\perp s](https://tex.z-dn.net/?f=k%28-2%2C0%29%5C%5C%5C%5C%0Amr%3D-1%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Ay-0%3D-1%28x%2B2%29%5C%5C%5C%5C%5C%0Ay-0%3D-x-2%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7Br%3Ay%3D-x-2%7D%5C%5C%5C%5C%5C%0Ar%5Cperp+s "k(-2,0)\\\\
mr=-1\\\\\\
y-0=-1(x+2)\\\\\
y-0=-x-2\\\\\\
\boxed{r:y=-x-2}\\\\\
r\perp s")
Fazendo a intersecção de r e s,encontramos as coordenada de P2
![s:y=x+4\\\\\\
r:y=-x-2\\\\\\\
\begin{cases}
y=x+4\\
y=-x-2\\
\end{cases}](https://tex.z-dn.net/?f=s%3Ay%3Dx%2B4%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Ar%3Ay%3D-x-2%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ay%3Dx%2B4%5C%5C%0Ay%3D-x-2%5C%5C%0A%5Cend%7Bcases%7D%0A%0A+%0A%0A "s:y=x+4\\\\\\
r:y=-x-2\\\\\\\
\begin{cases}
y=x+4\\
y=-x-2\\
\end{cases}")
![2y=4-2\\\\\
2y=2\\\\\
y= \dfrac{2}{2}\\\\\\
\boxed{y=1}\\\\\\\\\
Substituindo~~em ~~qualquer~~uma ~~das~~ eq:\\\\\\\
y=x+4\\\\\
1=x+4\\\\\
1-4=x\\\\\
-3=x\\\\\
\boxed{x=-3}\\\\\\\\
P2(-3,1)\\\\\\\\\\\
\boxed{Resp:~~y=x+4~~P2(-3,1)~~\boxed{Alternativa~~d}}](https://tex.z-dn.net/?f=2y%3D4-2%5C%5C%5C%5C%5C%0A2y%3D2%5C%5C%5C%5C%5C%0Ay%3D+%5Cdfrac%7B2%7D%7B2%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7By%3D1%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0ASubstituindo%7E%7Eem+%7E%7Equalquer%7E%7Euma+%7E%7Edas%7E%7E+eq%3A%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0Ay%3Dx%2B4%5C%5C%5C%5C%5C%0A1%3Dx%2B4%5C%5C%5C%5C%5C%0A1-4%3Dx%5C%5C%5C%5C%5C%0A-3%3Dx%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7Bx%3D-3%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0AP2%28-3%2C1%29%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7BResp%3A%7E%7Ey%3Dx%2B4%7E%7EP2%28-3%2C1%29%7E%7E%5Cboxed%7BAlternativa%7E%7Ed%7D%7D%0A%0A "2y=4-2\\\\\
2y=2\\\\\
y= \dfrac{2}{2}\\\\\\
\boxed{y=1}\\\\\\\\\
Substituindo~~em ~~qualquer~~uma ~~das~~ eq:\\\\\\\
y=x+4\\\\\
1=x+4\\\\\
1-4=x\\\\\
-3=x\\\\\
\boxed{x=-3}\\\\\\\\
P2(-3,1)\\\\\\\\\\\
\boxed{Resp:~~y=x+4~~P2(-3,1)~~\boxed{Alternativa~~d}}")
Boa noite!
Bons estudos!
Solução!
Primeiro vamos determinar a reta r que esta no plano,a qual representa a passagem do coletivo para outros bairros.
Os pontos onde a reta r passa são esses.
Conhecendo os pontos vamos determinar o coeficiente angula da reta r.
Equação da reta r,para isso pode pegar qualquer um dos pontos P ou T.
Para determinarmos a coordenada do ponto P2(x,y),vamos determinar mais uma reta e fazer sua intersecção para isso precisamos do coeficiente angular da reta perpendicular chamada de r.
Como o problema esta dentro do quarto quadrante,vamos pegar o ponto chamado de K.
Fazendo a intersecção de r e s,encontramos as coordenada de P2
Boa noite!
Bons estudos!
Usuário anônimo:
Muito obrigado amigo ^^ !!!
Dê nada!
esta é realmente a resposta correta ??
Sim ! ,
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