Question

O PIB (Produto Interno Bruto) de um país em desenvolvimento é representado
aproximadamente pela função $G(t)=0,2t^3+2,4t^2+60$, onde G(t) é medido em
milhões de dólares e t = 0 corresponde ao início da observação que é o ano de 1992.
Quantos anos são necessários para maximizar a função representativa do PIB? E qual é esse ano? Assinale a alternativa correta:

a) t = 8 anos
b) t = 6 anos
c) t = 7 anos
d) t = 2 anos
e) t = 3 anos

Answer 1

Temos a seguinte função:

$G(t) = 0,2t^{3} + 2,4t^{2} + 60$

Para encontrar o valor de "t" que maximize esse PIB, vamos usar o teste da derivada segunda, ou seja, vamos iniciar derivando duas vezes.

• Primeira derivada:

$\frac{dG}{dt} = \frac{d}{dt} (0,2t^{3} + 2,4t^{2} + 60) \\ \\ \frac{dG}{dt} = 0,6t {}^{2} + 4,8t \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Segunda derivada:

$\frac{d { }^{2}G}{dt {}^{2} } = 1,2t + 4,8$

Agora vamos achar os pontos críticos da função, ou seja, os valores que anulam a derivada 1°:

$0,6t {}^{2} + 4 ,8t = 0 \longrightarrow \begin{cases}t_1 = 0 \\t_2 = - 8\end{cases}$

Para descobrir o máximo devemos substituir os pontos críticos na derivada segunda:

$para \: x = 0 \\ \frac{d {}^{2} G}{dt {}^{2} } = 1,2t + 4,8 \longrightarrow \frac{d {}^{2} G}{dt {}^{2} } = 4,8 \\ \\ para \: x = - 8 \\ \frac{d {}^{2} G}{dt {}^{2} } = 1,2t + 4,8 \longrightarrow \frac{d {}^{2} G}{dt {}^{2} } = - 4,8$

Para completar a análise, devemos lembrar que:

$f''(x) > 0 \to minimo \\ f''(x) < 0 \to maximo$

Portanto temos que:

$x = - 8 \to maximo \\ x = 0 \to minimo$

Como não existe tempo negativo, digamos então que devem se passar 8 anos para que esse PIB maximize.

• Resposta: x = 8

Espero ter ajudado