Question

O perímetro do triângulo abc vale 120 cm e a bissetriz do ângulo a divide o lado oposto em dois segmentos de 18 d 22 cm conforme figura

Answer 1

Resposta:

Maior lado tem de dimensão 44 cm

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

O perímetro do triângulo ABC vale 120 cm e a bissetriz do ângulo  divide o lado oposto em dois segmentos de 18 cm e 22 cm.

Calcule a dimensão do maior lado.

Resolução:

                                       A

                                        º

                                     º    º      º

                                  º           º           º

                               º                  º                º  

                     B     º º º º º º º º º º º| º º º º º º º º  C

                                                        D

Dados fornecidos:

Perímetro de triângulo ABC = 120 cm cm

[ AD ] bissetriz do ângulo CAB

[ BD ] = 18 cm

[ DC ] = 22

Pedido:

Calcule a  medida do maior lado.

Resolvendo :

Vamos calcular as dimensões de todos os lados, para descobrir qual o maior.

O teorema da bissetriz interna diz que:

Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

Ou seja :  

$\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{DC}$

Como temos dois lados desconhecidos vamos elaborar um sistema de duas equações a duas incógnitas:

{ [ AB ] + [ AC ] + [ BC ] = 120

{  $\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{DC}$

E porque [ BC ] = 18 cm  + 22 cm = 40 cm

E na segunda equação, fazendo produto cruzado

⇔

{ [ AB ] + [ AC ] + 40 = 120

{ [ AB ] * [ DC ] = [ AC ] * [ BD ]  

⇔    

{ [ AB ] + [ AC ] = 80

{ [ AB ] * 22 = [ AC ] * 18

⇔

Resolvendo o sistema pelo método de substituição

Resolver a primeira equação em ordem a [ AB ]

E substituir e expressão encontrada , na segunda equação

{ [ AB ]  = 80  - [ AC ]  

{ ( 80 - [ AC ] ) * 22 = [ AC ] * 18  

⇔

Na segunda equação, usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração

{ [ AB ]  = 80  - [ AC ]  

{ 1760 - 22 * [ AC ]   = [ AC ] * 18

⇔

Termos em [ AC ] ficam no 1º membro e termos sem [ AC ] ficam no 2º membro.

Quando mudam de membro, trocam o sinal

{ [ AB ]  = 80  - [ AC ]  

{ - 22 * [ AC ] - 18 [ AC ]  = - 1760

⇔

{ [ AB ]  = 80  - [ AC ]  

{ - 40* [ AC ]   = - 1760

⇔

Dividir ambos os membros da 2ª equação por " - 40 "

{ [ AB ]  = 80  - [ AC ]  

{ - 40* [ AC ]  / ( - 40 )  = - 1760 / ( - 40 )

⇔

{ [ AB ]  = 80  - 44

{ [ AC ] = 44

⇔

{ [ AB ] = 36

{ [ AC ] = 44

As dimensões dos três lados ficam assim:

[ AB ] = 36 cm

[ BC ] = 40  cm

[ AC ] = 44  cm

Bom estudo.

-------------------------------------

Sinais:  ( * ) multiplicação    ( / ) divisão           ( ⇔ ) equivalente a