Matemática, perguntado por aliceleao16, 5 meses atrás

O perímetro do triângulo A (2, 4 ) , B ( 5, 1 ) e C ( 6, 5 ) é: *
a) 2 √17 + 2 √2
b) 3 √17 - 2 √2
c) 2 √17 + 3 √2
d) 3 √17 + 2 √2

eliaslc1118: Resposta

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

⠀⠀O perímetro do triângulo $ABC$ é igual a $\small\text{$2\sqrt{17}+3\sqrt{2}$}$ u.n. e, portanto, a alternativa c) é a correta.

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Considerações

⠀⠀Desejamos determinar o perímetro de um triângulo de vértices $\small\text{$A(2~,~4)$}$ , $\small\text{$B(5~,~1)$}$ e $\small\text{$C(6~,~5)$}$ — o perímetro de uma figura nada mais é que a soma da medida dos seus lados. Como no caso dessa questão estamos lidando com um triângulo $ABC$ no plano cartesiano, sabemos que as medidas de seus lados podem ser encontradas calculando-se a distância entre os pontos, que é dada pela fórmula (considerando dois pontos 1 e 2): $\small\text{$d_{1,2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$}$ .

⠀⠀Dessa forma, vendo em anexo a representação deste triângulo, podemos afirmar que temos estabelecido a fórmula para determinar seu perímetro:

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$\Large\begin{array}{c}P_\triangle=d_{\overline{\!AB}}\,+\,d_{\overline{\!BC}}\,+\,d_{\overline{\!AC}}\end{array}$

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Resolvendo a questão

⠀⠀Como o ‘‘mais grosso’’ que tinha que ser dito já foi, vamos então calcular o perímetro deste triângulo. Para os pontos $A$ , $B$ e $C$ temos, respectivamente, as coordenadas $x_a=2$ e $y_a=4$ , $x_b=5$ e $y_b=1$ , $x_c=6$ e $y_c=5$ . Dessa forma:

⠀ $\begin{array}{c}P_\triangle=d_{\overline{\!AB}}\,+\,d_{\overline{\!BC}}\,+\,d_{\overline{\!AC}}\\\\P_\triangle=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\,+\,\sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2}+\sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2}\\\\P_\triangle=\sqrt{(5-2)^2+(1-4)^2}\,+\,\sqrt{(6-5)^2+(5-1)^2}+\sqrt{(6-2)^2+(5-4)^2}\\\\P_\triangle=\sqrt{(3)^2+(-3)^2}\,+\,\sqrt{(1)^2+(4)^2}+\sqrt{(4)^2+(1)^2}\\\\P_\triangle=\sqrt{9+9}\,+\,\sqrt{1+16}+\sqrt{17}\\\\P_\triangle=\sqrt{18}\,+\,\sqrt{17}+\sqrt{17}\\\\P_\triangle=\sqrt{18}\,+\,2\sqrt{17}\end{array}$

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⠀⠀Podemos ainda simplificar o radical:

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$\large\begin{array}{c}P_\triangle=\sqrt{9+9}\,+\,2\sqrt{17}\\\\P_\triangle=\sqrt{3^2+3^2}\,+\,2\sqrt{17}\\\\P_\triangle=\sqrt{3^2\cdot(1+1)}\,+\,2\sqrt{17}\\\\P_\triangle=\sqrt{3^2\cdot2}\,+\,2\sqrt{17}\\\\P_\triangle=\sqrt{3^2}\cdot\sqrt{2}\,+\,2\sqrt{17}\\\\P_\triangle=3\cdot\sqrt{2}\,+\,2\sqrt{17}\\\\\!\boxed{P_\triangle=3\sqrt{2}\,+\,2\sqrt{17}~u.n.}\end{array}$

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⠀⠀Conclui-se, portanto, que a alternativa c) responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$