Question

O perímetro de um triângulo isósceles é 36m e a altura relativa a base mede 6m.Determine os lados

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vítor, que é simples.
Tem-se que o perímetro (P) de um triângulo isósceles é 36m e que a altura (h) relativa à base mede 6m.
Pede-se para determinar as medidas dos lados desse triângulo isósceles.

i) Antes veja que, chamando de "a", "b" e "c" os lados desse triângulo isósceles, teremos que esta soma dará "36m", pois está informado no enunciado da questão que o perímetro desse triângulo é 36m. Assim:

a + b + c = P ------- como o perímetro é 36m, então teremos que;
a + b + c = 36    . (I)

ii) Agora note que se o triângulo é isósceles e considerando que a base seja o lado "c", então, nesse caso, os lados "a" e "b" serão iguais, pois todo triângulo isósceles tem dois lados iguais.
Veja que se você traçar a altura (h) do vértice que une os lados "a" e "b" até a base "c", você estará dividindo a base "c" em dois segmentos iguais a "c/2" cada um. Além disso, como o triângulo é isósceles, então quando você traça a altura ela dividirá a base em dois triângulos retângulos, cuja hipotenusa será um dos lados (a) ou (b) e os catetos ficarão sendo a altura (6m) e um dos segmentos divididos pela altura (c/2).
Assim, aplicando Pitágoras, teremos:

a² = 6² + (c/2)²
a² = 36 + c²/4 ----- mmc = 4. Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos:

4*a² = 4*36 + 1*c²
4a² = 144 + c²
4a² - 144 = c² ----- vamos apenas inverter, ficando:
c² = 4a² - 144
c = +-√(4a²-144) ----- como a medida da base não é negativa, então tomaremos apenas a raiz positiva e igual a:

c = √(4a²-144) metros   . (II)

iii) Agora vamos fazer o seguinte: vamos na expressão (I), que é esta:

a + b + c = 36 ------ mas como "a" é igual a "b", então vamos chamar "b" de "a", com o que ficaremos assim:

a + a + c = 36
2a + c = 36   . (III)

Mas como já temos que c = √(4a²-144), conforme vimos na expressão (II), então vamos substituir "c" pelo valor acima. Assim:

2a + √(4a²-144) = 36 ---- passando "2a" para o 2º membro, teremos:
√(4a²-144) = 36 - 2a ----- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando:

[√(4a²-144)]² = (36-2a)² ---- desenvolvendo, ficaremos com:
4a² - 144 = 1.296 - 144a + 4a² ---- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos assim:

4a² - 144 - 1.296 + 144a - 4a² = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com:

144a - 1.440 = 0
144a = 1.440
a = 1.440/144
a = 10 m <---- Esta é a medida do lado "a"

Como os lados "a" e "b" são iguais, então o lado "b" também medirá 10m.

E, finalmente, vamos ver qual será a medida da base "c". Para isso, vamos na expressão (III), que é esta:

2a + c = 36 ----- substituindo "a" por "10", teremos:
2*10 + c = 36
20 + c = 36
c = 36 - 20
c = 16 m <--- Esta é a medida do lado "c".

iv) Assim, resumindo, temos que cada lado desse triângulo isósceles medirá:

a = 10m; b = 10m; e c = 16m <--- Esta é a resposta.

Deu pra entender bem:

OK?
Adjemir.