Question

O perímetro de um triângulo equilátero coincide com o perímetro de um quadrado. Se o triângulo mencionado tem área 4 raiz de 3 sobre 9 , então o valor mais próximo da diagonal desse quadrado?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Mariclara, que a resolução parece mais ou menos simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se que o perímetro de um triângulo equilátero coincide com o perímetro de um quadrado. Se o triângulo equilátero mencionado tem área igual a: 4√(3) / 9 , então o valor mais próximo da diagonal desse quadrado será de quanto?

ii) Agora vamos por parte. Vamos chamar de "L" cada lado igual do triângulo equilátero (o triângulo equilátero tem seus três lados iguais); e vamos chamar de "a" cada lado igual do quadrado (o quadrado tem seus 4 lados iguais).

iii) Note que a área de qualquer triângulo equilátero é dado pela seguinte fórmula:

A = L²*√(3) / 4

Como o triângulo equilátero da sua questão tem área de: 4√(3) / 9, então vamos igualá-la à área de qualquer triângulo equilátero [L²*√(3)/4]. Fazendo isso, teremos:

L²*√(3) / 4 = 4√(3) / 9 ------- multiplicando-se em cruz, teremos:

9*L²*√(3) = 4*4√(3) ---- desenvolvendo os dois lados, teremos:

9L²*√(3) = 16√(3) ---- note que poderemos dividir ambos os membros por "√(3)", com o que ficaremos apenas com:

9L² = 16 ---- isolando L² teremos:

L² = 16/9 --- agoa vamos isolar "L" ficando:

L = ± √(16/9) ----- note que √(16/9) = 4/3. Assim teremos:

L = ± 4/3 ---- mas como a medida de um lado de um triângulo nunca é negativa, então ficamos apenas com a raiz positiva e igual a:

L = 4/3 u.m. <--- Esta é a medida do lado do triângulo equilátero da sua questão. Observação: u.m. = unidades de medida.

iv) Agora vamos tecer considerações sobre os perímetros do triângulo equilátero e do perímetro do quadrado. Como são iguais os perímetros do triângulo equilátero e do quadrado da sua questão e considerando que o triângulo equilátero tem 3 lados iguais (e que chamamos de "L" a medida de cada lado) e considerando que o quadrado tem 4 lados iguais (e que chamamos de "a" a medida de cada lado), teremos que:

4a = 3L ---- como já vimos que o lado do triângulo equilátero da sua questão mede "4/3" u.m. , então vamos substituir "L" por esse valor (4/3). Fazendo isso, teremos:

4a = 3*(4/3) ---- desenvolvendo o produto, teremos:

4a = 12/3 ---- como "12/3 = 4", teremos:

4a = 4 ---- isolando "a", teremos:

a = 4/4

a = 1 u.m. <--- Esta é a medida do lado do quadrado. Ou seja, o quadrado da sua questão tem lado medindo 1 unidades de medida.

v) Finalmente, vamos para a fórmula que nos fornece a diagonal de qualquer quadrado. Assim, chamando a diagonal de "d" e o lado do quadrado de "a", temos que a fórmula da diagonal de qualquer quadrado é dada por:

d = a√(2)

Como já vimos que o lado do quadrado da sua questão mede "1" u.m., então vamos substituir "a' por "1" na fórmula acima. Logo:

d = 1√(2) ---- ou apenas:

d = √(2) ---- como √(2) = 1,41 (aproximadamente), teremos que:

d = 1,41 u.m. <--- Esta é a resposta. Opção "E".

É isso aí.

Deu pra entender bem:

Ok?

Adjemir.