Question

O perímetro de um retângulo que possui as medidas da largura e do comprimento representadas respectivamente pelas expressões 1+3x /2-2x e 2-x /1-x é:

a) 5x+1 / 1-x

b) 3+2x / 3-3x

c) 6+4x / 3-3x

d) 5-x / 1-x

e) 5+x / 2-2x

Answer 1

x)Vamos lá.

Veja, Simone, que é simples a resolução.
Tem-se que as medidas da largura e do comprimento de um retângulo são dadas pelas seguintes expressões::

largura: (1+3x)/(2-2x)
e
comprimento: (2-x);(1-x)

Dadas essas informações,pede-se a expressão que representará o perímetro (P) desse retângulo.

i) Veja que o perímetro de um retângulo de largura "L" e de comprimento "C" tem o seu perímetro (P) dado da seguinte forma:

P = 2L + 2C       . (I)

ii) Portanto, tendo a relação (I) acima como parâmetro, então o retângulo da sua questão, que tem largura igual a "(1+3x)/(2-2x)" e comprimento igual a : "(2-x);(1-x)", terá o seu perímetro (P) dado assim:

P = 2*[(1+3x)/(2-2x)] + 2*[(2-x);(1-x)] ----- efetuando os produtos indicados, temos:

P = (2+6x)/(2-2x) + (4-2x)/(1-x) ----- mmc será: (2-2x)*(1-x). Assim, utilizando-o, teremos: (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

P = [(1-x)*(2+6x) + (2-2x)*(4-2x)] / [(2-2x)*(1-x)] ---- efetuando os produtos indicados, teremos;

P = [(1*2+1*6x-2*x-6x²) + (2*4-2*2x-4*2x+4x²)] / [2*1-2*x-2x+2x²]
P = [(2+6x-2x-6x²) + (8-4x-8x+4x²)] / [2-2x-2x+2x²]
P = [(-6x²+4x+2) + (4x²-12x+8)] / [2x²-4x+2] --- retirando-se os parênteses do numerador, ficaremos com:

P = [-6x²+4x+2 + 4x²-12x+8] / [2x²-4x+2] --- reduzindo os termos semelhantes:
P = (-2x² - 8x + 10) / (2x²-4x+2) ---- para facilitar, poderemos dividir cada fator por "2" (tanto do numerador como do denominador), com o que ficaremos da seguinte forma:

P = (-x² - 4x + 5) / (x² - 2x + 1) ---- E ainda, para facilitar, poderemos colocar um sinal de menos antes dos parênteses do numerador, com o que ficaremos assim:

P = -(x²+4x-5) / (x²-2x+1)

Agora note: se aplicarmos Bháskara no numerador e no denominador, vamos encontrar que as raízes serão as seguintes:

- no numerador, teremos que: x' = -5; e x'' = 1
- no denominador, teremos que: x' = x'' = 1.

Então, poderemos expressar as duas equações (a do numerador e a do denominador) em função de suas raízes, da seguinte forma:

P = - [(x-(-5))*(x-1)] / [(x-1)*(x-1)] ----- desenvolvendo, teremos:
P =-  [(x+5)*(x-1)] / [(x-1)*(x-1)] ---- simplificando-se (x-1) do numerador com (x-1) do denominador, iremos ficar apenas com:

P = - (x+5)/(x-1) ---- note que, agora, poderemos retirar o sinal de menos que está antes do numerador e o efeito disso poderemos colocar no denominador, ficando assim:

P = (x+5) / -(x-1) ----- Finalmente, poderemos retirar o sinal de menos antes dos parênteses do denominador, bastando, para isso, trocarmos os sinais do que está dentro dos parênteses, ficando assim:

P = (x+5) / (1-x) ---- E, agora, por fim, note que "x+5" é a mesma coisa que "5+x". Então, para ficar exatamente como estão escritas as opções dadas, teremos que:

P = (5+x)/(1-x) <--- Esta é a resposta. A que mais se aproxima é a opção "d", que pedimos pra você rever se não há algum engano na sua escrita, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.