Question

o perímetro de um losango é 20√3 cm e uma de suas diagonais mede 6√3cm. calcule a área desse losango.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Perímetro do losango:

P = 4l

20√3 = 4l

l = 5√3 é a hipotenusa do triângulo retângulo.

A metade da diagonal é um dos catetos:

b = 3√3

O outro cateto mede:

a² = b² + c²

25 . 3 = 9 . 3 + c²

75 = 27 + c²

75 - 27 = c²

c² = 48

c = √48

c = 4√3

Então D = 2 . 4√3 = 8√3

d = 6√3

A = D . d/2

A = 8√3 . 6√3 / 2

A = 48 . 3 / 2

A = 24 . 3

A = 72 cm²

Answer 2

A  medida da área deste losango é 72 cm²

Propriedades do Losango

O losango é um quadrilátero que, assim como o quadrado, possui todos os lados com a mesa medida. Sua área pode ser calculada através da fórmula:

$A = \frac{D \cdot d}{2}$

Onde D e d são as diagonais do losango.

No caso desta questão, sabemos que o perímetro de um losango é 20√3 cm, assim, conclui-se que a medida de cada lado é 20√3 / 4 = 5√3 cm.

Agora, observe o seguinte:

Traçando as diagonais, observe que a metade das diagonais, um lado do losango formam um triângulo retângulo.

Sendo assim, como sabemos a medida de uma das diagonais, e dos lados, encontramos a medida correspondente à metade da outra diagonal, por meio do teorema de Pitágoras.

Deste modo, temos:

$(5\sqrt{3} )^2 = \left(\frac{6\sqrt{3} }{2} \right)^2 + \left( \frac{D}{2} \right)^2\\\\75 = (3\sqrt{3})^2 + \frac{D^2}{4} \\\\75 = 27 + \frac{D^2}{4} \\\\75-27 = \frac{D^2}{4} \\\\48 = \frac{D^2}{4}\\\\48 \cdot 4= D^2\\\\192 = D^2\\\\\sqrt{192} = D\\\\\sqrt{64 \cdot 3} = D\\\\\\8\sqrt{3} = D$

Portanto, a medida da outra diagonal é 8√3, então, temos a área:

$A = \frac{6\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} }{2} \\\\A = \frac{48 \cdot 3}{2} \\\\A = 72 \; cm^2$

Logo, a medida da área deste losango é 72 cm².

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