Question

O perímetro de um hexágono regular inscrito numa circunferência é igual a 24 cm. Calcule as medidas do lado e do apótema de um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.

Answer 1

Olá.

 

Para tornar a questão mais clara, adicionei em anexo uma imagem ilustrativa.

 

Para descobrir o valor do lado do hexágono de perímetro 24cm, basta pensarmos no conceito de perímetro.

 

Perímetro é o nome dado a soma de todos os lados de uma figura. No caso, o hexágono tem 6 lados, logo, podemos afirmar que 24 é a soma do comprimento de cada lado. Calculando, teremos:

 

$\mathsf{6l=24}\\\\ \mathsf{l=\dfrac{24}{6}}\\\\ \mathsf{l=4}$

 

O lado mede 4cm.

 

$\textsf{----------------------------------------}$

 

Para descobrir o apótema dos triângulos (ou a altura deles), temos dois meios, com ou sem trigonometria. Demonstro os dois.

 

     O primeiro meio de resolver é tratando o apótema (co na imagem) como a altura de um triângulo equilátero. Sendo assim, podemos descobrir o apótema por meio da fórmula para o cálculo da altura do triângulo. Segue a fórmula:

 

$\mathsf{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}$

 

Calculando, teremos:

 

$\mathsf{h=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{h=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{h=2\sqrt3}$

 

     O segundo meio de resolver é com trigonometria. O primeiro passo é saber o grau de alfa na imagem. Para isso, devemos dividir a soma dos ângulos (que iremos calcular ainda) por 12. A soma dos ângulo pode ser obtida através da fórmula:

 

$\mathsf{(n-2)\cdot180^{\circ}}$

 

Onde n é a quantidade de lados, no caso, 6. Vamos aos cálculos, dividindo por 12.

 

$\mathsf{\dfrac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{12}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(6-2)\cdot180^{\circ}}{12}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{4\cdot180^{\circ}}{12}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{720^{\circ}}{12}=}\\\\\\ \mathsf{60^{\circ}}$

 

Tendo que o ângulo alfa é 60°, podemos descobrir o valor de apótema a partir do triângulo retângulo em azul. Para desenvolver a tangente usaremos:

 

$\mathsf{tg~\alpha^{\circ}=\dfrac{cateto~oposto}{cateto~adjacente}=\dfrac{co}{ca}}\\\\\\ \mathsf{tg~60^{\circ}=\sqrt3}$

 

Calculando a tangente, com ca igual a metade do lado, teremos:

 

$\mathsf{tg~\alpha=\dfrac{co}{ca}}\\\\\\ \mathsf{tg~60^{\circ}=\dfrac{co}{4\div2}}\\\\\\ \mathsf{\sqrt3=\dfrac{co}{2}}\\\\\\ \mathsf{co=2\cdot\sqrt3}\\\\ \mathsf{co=2\sqrt3}$

 

 

Com base nos dois métodos, podemos afirmar que o apótema é $\mathsf{2\sqrt3}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$