Question

O par ordenado (0,2) pertence ao gráfico da função y=(k-1)e^-x

Qual é o valor mínimo da função no intervalo [1, 2]?

a)3/e
b)3/e^2
c)2/e^2
d)1/2

Answer 1

Analisando a função exponencial, sua derivada e seus pontos máximos e mínimos, temos que o mínimo desta função neste intervalo é 2/e^2. Letra c).

Explicação passo-a-passo:

Então temos a função exponencial:

$y=(k-1)e^{-x}$

Que passa pelo ponto (0,2), então podemos substituir (x,y) pelo ponto para descobrir k:

$y=(k-1)e^{-x}$

$2=(k-1)e^{-0}$

$2=(k-1)$

$k=3$

Assim nossa função completa fica:

$y=2e^{-x}$

Agora para descobrir o seu máximo ou mínimo, vamos derivar esta função:

$y=2e^{-x}$

$y'=-2e^{-x}$

Substituindo a derivada por 0 para encontrarmos o mínimo:

$y'=-2e^{-x}$

$y'=-2e^{-x}=0$

E assim vemos que esta função não possui mínimos globais, pois exponencial só se anula no infinito.

Se ele não possui mínimos globais, então vamos analisar mínimos locais, substituindo o valor dos intervalos na função:

Intervalo [1,2]:

$y=2e^{-1}=\frac{2}{e}$

$y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$

Assim o segundo valor é menor, logo, o mínimo desta função neste intervalo é 2/e^2. Letra c).