Question

o painel de um cofre possui 7 botões numerados de 1 a 7. Cada senha consiste em um conjunto de 4 números de 1 a 7. Os números de uma senha podem ser digitados em qualquer ordem. Se o cofre foi modificado de modo que qualquer conjunto não vazio de números de 1 a 7 seja uma senha, quantas senhas a mais o cofre teria?

Alguém me ajuda rápidooooo!

Answer 1

Olá!

Essa questão é um exemplo do uso de combinação com repetição, sabemos que inicialmente a senha tem 4 valores de 1 a 7, e a senha não importa a ordem em que eles foram digitados, portanto:

n = numero de valores no conjunto

k = quantidade de valores possíveis

$C_{n+k-1,k} = \frac{n+k-1}{k!(n+k-1-k)!}$

$C_{4+7-1,7} = \frac{10}{7!(3)!}$

$C_{4+7-1,7} = 120$ combinações

Se qualquer conjunto menor ou igual a 4 e não nulo for aceito, temos que:

Conjunto com 1 número: 7 combinações

Conjunto com 2 números:

$C_{2+7-1,7} = \frac{8}{7!(1)!}$

$C_{2+7-1,7} = 8$ combinações

Conjunto com 3 números:

$C_{3+7-1,7} = \frac{9}{7!(2)!}$

$C_{3+7-1,7} = 36$ combinações

36+8+7 = 51

Logo, temos 51 senhas a mais.