Question

O painel de um cofre possui 6 botões numerados de 1 a 6. Cada senha consiste em um conjunto de 4 números de 1 a 6. Os números de uma senha podem ser digitados em qualquer forma. Se o cofre for modificado de modo que qualquer conjunto não vazio de número 1 a 6 seja uma senha, quantas senhas a mais o cofre teria?

Answer 1

Olá!

Essa questão é um exemplo do uso de combinação com repetição, sabemos que inicialmente a senha tem 4 valores de 1 a 6, e a senha não importa a ordem em que eles foram digitados, portanto:

n = numero de valores no conjunto

k = quantidade de valores possíveis

$C_{n+k-1,k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n+k-1-k)!}$

$C_{4+6-1,6}=\frac{(9)!}{6!(3)!}$

$C_{4+6-1,6}= 84$ combinações

Se qualquer conjunto menor ou igual a 4 e não nulo for aceito, temos que:

Conjunto com 1 número: 6 combinações

Conjunto com 2 números:

$C_{2+6-1,6}=\frac{(7)!}{6!(1)!}$

$C_{2+6-1,6}= 7$ combinações

Conjunto com 3 números:

$C_{3+6-1,6}=\frac{(8)!}{6!(2)!}$

$C_{3+6-1,6}= 28$ combinações

28+7+6 = 41

Logo, temos 41 senhas a mais.