Question

O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, 1/2 de probabilidade de acertar um dardo no alvo. A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a 9/10. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada. Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

Answer 1

A alternativa B é a correta. A quantidade mínima que devem ser disponibilizados para que o jogo seja mais atrativo é igual a 4 dardos.

O enunciado completa inclui as alternativas. que são:

a) 2.

b) 4.

c) 6.

d) 9.

e) 10.

Probabilidade

Do enunciado, sabemos que o organizamos considere a probabilidade de uma pessoa acertar um dardo no alvo igual a $\frac{1}{2}$.

O jogador pontua caso acerte pelo menos um dardo. Isso significa que para que um jogador não pontue, é necessário que ele erre todos os dardos arremessados.

Considere $n$ o número de dardos disponibilizados pelo organizador. A probabilidade de um jogador errar todos os arremessos é:

• $P'_{n} =(\frac{1}{2^{n} } )$

Logo, a chance de um jogador acertar pelo menos um dos arremessos é:

$P_n=1-P'_{n}\\\\P_n= 1 - (\frac{1}{2^{n} } )$

Queremos que a chance de acertou seja igual ou superior que 9/10. Para isso podemos chutar valores para $n$:

$n=2 \Longleftrightarrow P_2= 1 - (\frac{1}{2^{2} } ) \Longleftrightarrow P_2= \frac{3}{4}=75 \% \\\\n=3 \Longleftrightarrow P_3= 1 - (\frac{1}{2^{3} } ) \Longleftrightarrow P_3= \frac{7}{8}=87,5\% \\\\n=4 \Longleftrightarrow P_4= 1 - (\frac{1}{2^{4} } ) \Longleftrightarrow P_4= \frac{15}{16}=93,7\%$

Logo, $n=4$ é o menor número de dardos necessários para que a probabilidade de um jogador pontuar seja superior a 9/10.  A alternativa B é a correta.

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Espero ter ajudado, até a próxima :)