Question

O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos medem 1 de cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS. Então é CORRETO afirmar que a área do quadrado PQRS é:

Answer 1

Sabendo que o lado do octógono vale 1 dm, e que este encontra-se circunscrito em um quadrado PQRS.

Assim temos que os lados do octógono AH, GF, BD e  EC são iguais e correspondem a hipotenusa de triângulos retângulos cujos catetos são iguais e valem x.

Desta forma, temos pelo Teorema de Pitágoras a seguinte relação:

x²+x² = 1²
2x² = 1²
x² = 1/2
x = √1/2
x= 1/√2

Vamos remover a raíz do denominador, multiplicando por √2/√2:
x = 1/√2*√2/√2

x =√2/2

Desta forma, o lado do quadrado PQRS (l) pode ser escrito como:

l = 2*x + 1
l= 2 * √2/2 + 1

l = √2+1


Por fim, a área do quadrado pode ser calculada como o lado ao quadrado.

área = l² 
área = (√2+1)²
área = (√2)²+2*√2*1+1² 
área = 2 + 2√2 + 1

área = 3 + 2√2 dm²