Question

O número $\mathsf{5^{2^{2017}}-1}$ possui quantos fatores 2?


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá Aks, boa tarde!

Como esses expoentes costumam me causar certa estranheza, decidi ir com calma. [risos] 

$\\ \bullet \qquad \mathsf{5^{2^{1}} - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24 = \boxed{\mathbf{8}} \cdot 3} \\\\ \bullet \qquad \mathsf{5^{2^{2}} - 1 = 5^4 - 1 = 625 - 1 = 624 = \boxed{\mathbf{16}} \cdot 39} \\\\ \bullet \qquad \mathsf{5^{2^{3}} - 1 = 5^8 - 1 = 390625 - 1 = 390624 = \boxed{\mathbf{32}} \cdot 12207} \\\\ \mathsf{(...)} \\\\ \bullet \qquad \mathsf{5^{2^{2016}} - 1 = (...) = \boxed{\mathbf{2^{2018}}} \cdot a} \\\\ \bullet \qquad \mathsf{5^{2^{2017}} - 1 = (...) = \boxed{\mathbf{2^{2019}}} \cdot b}$ 

 Onde "a" e "b" são números grandes e não múltiplos de 2.

Obs1.: o fator 8 em destaque, pode ser representado por $\mathbf{2^3}$; mas, note que seu expoente corresponde à soma dos expoentes da base 5. 

Obs2.: o fator 16 em destaque, pode ser representado por $\mathbf{2^4}$; mas, note, também, que seu expoente corresponde à soma dos expoentes da base 5.


Obs3.: o fator 32 em destaque, pode ser representado por $\mathbf{2^5}$; mas, o expoente, também, corresponde à soma dos expoentes da base 5. 

(...)

 Desse modo, podemos tirar que:

$\mathbf{2^{2019} \cdot b \ | \ 5^{2^{2017}} - 1} \ \text{e b n\~ao \'e m\'ultiplo de 2}$

 Logo, a quantidade de fatores 2 é $\boxed{\boxed{\mathsf{2019}}}$.