Question

O número real $w = \frac{1}{3 + \sqrt{5} }$ pode ser escrito na forma $w = a + b . \sqrt{5}$ para certos números racionais a e b cuja soma vale:

a)$\frac{5}{6}$
b)$\frac{2}{3}$
c)$\frac{3}{4}$
d)$\frac{4}{5}$
e)$\frac{1}{2}$

Answer 1

Racionalize o número multiplicando por (3 - √5)/(3 - √5):

$\frac{1}{3 + \sqrt{5}} * \frac{3-\sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{1 * (3 - \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} * \sqrt{5}$

Então a = 3/4 e b = -1/4

$a + b = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Alternativa E.

Answer 2

Olá.

Nesse caso temos de aplicar conceitos de racionalização de denominadores.

Por regra, não se pode deixar raízes no denominador, logo, ele precisa ser retirado.

O processo de racionalização consiste basicamente em multiplicar o denominador e o numerador por uma fração (que tem de ter o numerador e denominador iguais), para que a raiz seja retirada do denominador.

Para tirar a raiz do denominador, nesse caso onde há um número irracional e um outro racional, a fração deve ter o mesmo valor do denominador, mas com o sinal inverso do irracional. Algebricamente, teremos:

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{w=\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}}\\\\\\ \mathsf{w=\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\cdot\dfrac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}} \end{array}$

Para o desenvolvimento, devemos regras que são comuns em álgebra. Vamos aos cálculos.

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{w=\dfrac{1}{3+\sqrt{5}}\cdot\dfrac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}}\\\\\\ \mathsf{w=\dfrac{1\cdot\left(3-\sqrt5\right)}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt5\right)}}\\\\\\ \mathsf{w=\dfrac{3-\sqrt5}{9-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt{25}}}\\\\\\ \mathsf{w=\dfrac{3-\sqrt5}{9-5}}\\\\\\ \mathsf{w=\dfrac{3-\sqrt5}{4}} \end{array}$

A partir desse ponto é possível definir valores para "a" e "b". Lembrando que, quando não há nenhum número multiplicando, podemos afirmar que "o 1 foi omitido". Teremos:

$\Large\begin{array}{l} \begin{cases} \mathsf{a=}&\mathsf{\dfrac{3}{4}}\\\\ \mathsf{b=}&\mathsf{-\dfrac{1}{4}} \end{cases} \end{array}$

Para a soma dos valores, mantemos o denominador (já que é igual em ambos) e somamos apenas o numerador. Teremos:

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a+b=\dfrac{3}{4}+\left(-\dfrac{1}{4}\right)}\\\\\\ \mathsf{a+b=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}}\\\\\\ \mathsf{a+b=\dfrac{3-1}{4}}\\\\\\ \mathsf{a+b=\dfrac{2}{4}} \end{array}$

Essa fração é passível de simplificação, dividindo o numerador e denominador por 2. Teremos:

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a+b=\dfrac{2}{4}}\\\\\\ \mathsf{a+b=\dfrac{2^{:2}}{4^{:2}}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{a+b=\dfrac{1}{2}}} \end{array}$

Com base nisso, podemos concluir que a resposta correta está na alternativa E.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.