Question

. O número natural N deixa resto 3 na divisão por 5. O

resto da divisão de 8.N^2

por 5 é igual a

Answer 1

O número natural  n  deixa resto  3  na divisão por  5.  Calcular o resto da divisão de  8n²  por  5.

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Solução:

Se  n  deixa resto  3  na divisão por  5,  então

     $\mathsf{n=5q_1+3}$

     para algum  q₁ ∈ ℕ.


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $\mathsf{n^2=(5q_1+3)^2}$


Expanda o quadrado da soma no lado direito:

     $\mathsf{n^2=5^2q_1^2+2\cdot 5q_1\cdot 3+3^2}\\\\\mathsf{n^2=25q_1^2+30q_1+9}$


Multiplique os dois lados por  8:

     $\mathsf{8n^2=8\cdot (25q_1^2+30q_1+9)}\\\\ \mathsf{8n^2=200q_1^2+240q_1+72}$


Reescreva  72  como  70 + 2:

     $\mathsf{8n^2=200q_1^2+240q_1+70+2}$


Observe que as três primeiras parcelas do lado direito são múltiplos de  5.  Coloque  5  em evidência:

     $\mathsf{8n^2=5\cdot (40q_1^2+48q_1+14)+2}\\\\ \mathsf{8n^2=5q+2}$

     onde  40q₁² + 48q₁ + 14 = q ∈ ℕ.


Como  0 ≤ 2 < 5,  então o resto da divisão de  8n²  por  5  é  2.

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Outra forma é utilizarmos a notação de congruência modular. Se  n  deixa resto  3  na divisão por  5, então

     $\mathsf{n\equiv 3\quad(mod~5)}$


Eleve os dois lados ao quadrado:

     $\mathsf{n^2\equiv 3^2\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{n^2\equiv 9\quad(mod~5)}$


Multiplique os dois lados por  8:

     $\mathsf{8n^2\equiv 8\cdot 9\quad(mod~5)}\\\\ \mathsf{8n^2\equiv 72\quad(mod~5)}$


Mas

     72 = 5 · 14 + 2

então, temos que

     $\mathsf{8n^2\equiv 5\cdot 14+2\equiv 2\quad(mod~5)}$


Como  0 ≤ 2 < 5,  então o resto da divisão de  8n²  por  5  é  2.  Novamente, chegamos ao mesmo resultado.


Resposta:  2.


Bons estudos! :-)