Question

O numero N=.... e um decimal ilimitado periodico. Se N for escrito sob a forma de fraçao irredutivel a/b entao determina a+b

Answer 1

Olá.

 

Tem dois meios de resolver essa questão. No final, elas compartilham uma mesma propriedade (fatoração de um trinômio), mas o início pode ser diferente. Ficou confuso? Demonstro, desde já afirmando que o primeiro meio é mais simples.

 

Para o primeiro método, deveremos fazer fatorações de trinômios, usando os seguintes produtos notáveis:

 

$\mathsf{\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2}\\\\ \mathsf{\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2}$

 

Vamos aos desenvolvimento.

 

$\mathsf{N=\dfrac{1}{\sqrt{32+10\sqrt{7}}}+\dfrac{1}{\sqrt{32-10\sqrt{7}}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{1}{\sqrt{25+7+10\sqrt{7}}}+\dfrac{1}{\sqrt{25+7-10\sqrt{7}}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{1}{\sqrt{25+10\sqrt{7}+7}}+\dfrac{1}{\sqrt{25-10\sqrt{7}+7}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{1}{\sqrt{\left(5+\sqrt7\right)^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{\left(5-\sqrt7\right)^2}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{1}{5+\sqrt7}+\dfrac{1}{5-\sqrt7}}$

 

Agora, vamos desenvolver a soma. Para desenvolver a soma, sigo um método semelhante ao do MMC, segue:

 

$\mathsf{m=\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}}\\\\\\ \mathsf{m=\dfrac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}}$

 

Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{N=\dfrac{1}{5+\sqrt7}+\dfrac{1}{5-\sqrt7}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{1\cdot\left(5-\sqrt7\right)+1\cdot\left(5+\sqrt7\right)}{\left(5+\sqrt7\right)\left(5-\sqrt7\right)}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\left(5-\sqrt7\right)+\left(5+\sqrt7\right)}{5^2-\sqrt5+\sqrt5-\sqrt{7^2}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{5-\sqrt7+5+\sqrt7}{25-7}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{5-\sqrt7+5+\sqrt7}{25-7}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{5+5}{18}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{10}{18}~\therefore~N=\dfrac{10^{:2}}{18^{:2}}=\dfrac{5}{9}=0,\overline{555}}$

 

Como demonstrado, temos o resultado da expressão. Somando 5 e 9 (o que o enunciado deseja), teremos 14 como resultado.

 

$\textsf{--------------------------------------------------}$

Vamos ao outro método.

Para resolver essa questão, o primeiro passo é resolver a soma das frações que compõem N. Teremos:

 

$\mathsf{N=\dfrac{1}{\sqrt{32+10\sqrt{7}}}+\dfrac{1}{\sqrt{32-10\sqrt{7}}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{1\cdot\left(\sqrt{32-10\sqrt{7}}\right)+1\cdot\left(\sqrt{32+10\sqrt{7}}\right)}{\left(\sqrt{32+10\sqrt{7}}\right)\cdot\left(\sqrt{32-10\sqrt{7}}\right)}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{\left(\sqrt{32+10\sqrt{7}}\right)\cdot\left(\sqrt{32-10\sqrt{7}}\right)}}$

 

Em multiplicação entre raízes, multiplicamos os valores dentro das raízes, seguindo o modelo:

 

$\mathsf{\sqrt{a+b\sqrt{c}}\cdot\sqrt{d-e\sqrt{f}}=}\\\\ \mathsf{\sqrt{\left(a+b\sqrt{c}\right)\left(d-e\sqrt{f}\right)}=}\\\\ \mathsf{\sqrt{ad-ae\sqrt{f}+bd\sqrt{c}-be\sqrt{cf}}}$

 

Desenvolvendo a multiplicação dos denominadores, teremos:

 

$\mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{\left(\sqrt{32+10\sqrt{7}}\right)\cdot\left(\sqrt{32-10\sqrt{7}}\right)}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{\sqrt{\left(32+10\sqrt{7}\right)\cdot\left(32-10\sqrt{7}\right)}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{\sqrt{32\cdot32+32\cdot10\sqrt{7}-32\cdot10\sqrt{7}-\left(10\cdot10\right)\left(\sqrt7\cdot\sqrt7\right)}}}$

 

$\mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{\sqrt{32\cdot32-\left(100\right)\left(7\right)}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{\sqrt{1.024-700}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{\sqrt{324}}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{18}}$

 

No numerador, usando a propriedade de produtos notáveis que apresentei no primeiro método, teremos:

 

$\mathsf{N=\dfrac{\sqrt{32-10\sqrt{7}}+\sqrt{32+10\sqrt{7}}}{18}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{25+7-10\sqrt{7}}+\sqrt{25+7+10\sqrt{7}}}{18}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{5^2-10\sqrt{7}+7}+\sqrt{5^2+10\sqrt{7}+7}}{18}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{\sqrt{\left(5-\sqrt7\right)^2}+\sqrt{\left(5+\sqrt7\right)^2}}{18}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{5-\sqrt7+5+\sqrt7}{18}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{5+5}{18}}\\\\\\ \mathsf{N=\dfrac{10}{18}~\therefore~N=\dfrac{10^{:2}}{18^{:2}}=\dfrac{5}{9}=0,\overline{555}}$

 

Como demonstrado, temos o resultado da expressão. Somando 5 e 9 (o que o enunciado deseja), teremos 14 como resultado.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$