Question

O número irracional (√2 − √3)^{6} é igual a


A) 198 - 485 √6.

B) 485 - 198 √6.

C) -198 + 485 √6.

D) -485 + 198 √6.


Muito obrigada!!

Answer 1

Olá!!

$( \sqrt{2} - \sqrt{3} {)}^{6}$

Escrevendo 6 como soma

$( \sqrt{2} - \sqrt{3} {)}^{3 + 3}$

Expandindo a expressão com:

${a }^{m + n} = {a}^{m} \times {a}^{n}$

${( \sqrt{2} - \sqrt{3} ) }^{3} \times {( \sqrt{2} - \sqrt{3} )}^{3}$

Expandindo com:

${(a - b)}^{3} = {a}^{3} - 3 {a}^{2} b + 3a {b}^{2} - {b}^{3}$

$( { \sqrt{2} }^{3} - 3 \times { \sqrt{2} }^{2} \times \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} \times \sqrt{ {3}^{2} } - { \sqrt{3} }^{3} ) \times ( { \sqrt{2} }^{3} - 3 \times { \sqrt{2} }^{2} \times \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} \times \sqrt{ {3}^{2} } - { \sqrt{3} }^{3} )$

$(2 \sqrt{2} - 3 \times 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} \times 3 - 3 \sqrt{3} ) \times (2 \sqrt{2} - 3 \times 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} \times 3 - 3 \sqrt{3} )$

$(2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 9 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3} ) \times (2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{3} + 9 \sqrt{2} - 3 \sqrt{3} )$

Multiplicando cada termo

$8 - 12 \sqrt{6} + 36 - 6 \sqrt{6} - 12 \sqrt{6} + 108 - 54 \sqrt{6} + 56 + 36 - 54 \sqrt{6} + 162 - 27 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 54 - 27 \sqrt{6} + 54 - 27 \sqrt{6} + 27$

Calculando

$485 - 198 \sqrt{6}$

Letra B).

Answer 2

O número irracional dado por (√2 - √3)⁶ é igual a 485 - 198·√6, alternativa B.

Produtos notáveis

Produtos notáveis são expressões dadas pelo produto entre dois ou mais binômios que são usadas frequentemente.

Pela propriedade da potência de potência, podemos reescrever essa expressão como:

(√2 - √3)⁶ = [(√2 - √3)³]²

Dentro dos colchetes, temos um cubo da diferença:

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Sendo a = √2 e b = √3, teremos:

(√2 - √3)⁶ = [√2³ - 3·√2²·√3 + 3·√2·√3² - √3³]²

(√2 - √3)⁶ = [2·√2 - 3·2·√3 + 3·√2·3 - 3·√3]²

(√2 - √3)⁶ = [11·√2 - 9·√3]²

Agora, ficamos um quadrado da diferença:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Sendo a = 11·√2 e b = 9·√3, teremos:

(√2 - √3)⁶ = (11·√2)² - 2·11·√2·9·√3 + (9·√3)²

(√2 - √3)⁶ = 121·2 - 198·√6 + 81·3

(√2 - √3)⁶ = 485 - 198·√6

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