Question

O número inteiro que representa a expressão na figura a seguir é:

Answer 1

${2}^{16} = 65.536$

Explicação passo-a-passo:

*Propriedades de potenciação e radiciação

1 - Procure deixar 10 como potência de mesma base que os numeradores, ou seja, potência de base 2

10 = 8 + 2

8 = 2³

Portanto: 10 = 2³ + 2

Reescrevendo:

$\sqrt[4]{ \frac{ {2}^{65} + {2}^{67} }{ {2}^{3} + 2 } }$

2 - Fatorar o numerador e fatorar o denominador. O menor termo do numerador é 2⁶⁵. O menor termo do denominador é 2 (2¹)

Fatorando:

2⁶⁵( 1 + 2²) → No numerador

2⁶⁵( 1 + 4 ) = 2⁶⁵(5) → numerador

2( 2² + 1 ) → No denominador

2( 4 + 1 ) = 2(5)→ denominador

Reescrevendo:

$\sqrt[4]{ \frac{ {2}^{65} + {2}^{67} }{ {2}^{3} + 2} } = \sqrt[4]{ \frac{ {2}^{65}(5) }{2(5)} }$

Como só temos multiplicação no numerador e denominador, podemos cancelar o 5 de ambos.

Então a Raíz fica agora com apenas as potências de base 2:

$\sqrt[4]{ \frac{ {2}^{65} }{2} }$

Divisão de potência de mesma base, conserva a base e subtrái os expoentes. Ex:

2⁶⁵ / 2⁶⁰ resultaria em 2⁶⁵ ⁻ ⁶⁰ = 2⁵

No caso em questão, qualquer número sem expoente evidente, o expoente é igual a 1. Portanto 2 = 2¹

$\sqrt[4]{ \frac{ {2}^{65} }{2} } = \sqrt[4]{ \frac{ {2}^{65} }{ {2}^{1} } } = \sqrt[4]{ {2}^{65 - 1} } = \sqrt[4]{ {2}^{64} }$

Agora só precisamos resolver a raíz na quarta.

$\sqrt[4]{ {2}^{64} } = {2}^{16}$

${2}^{16} = 65.536$

Espero que eu tenha ajudado.

Bons estudos !