Question

O número inteiro e positivo N,menor do que 100 , quando divido por 13,dá quociente A e resto B e, quando dividido por 5, dá quociente B e resto A. A soma de todos os valores de N que se adaptam às condições acima é:
a) 160
(b)136
(c)142
(d)96

Answer 1

Lembre-se que:

$\text{Dividendo}=\text{divisor}\times\text{quociente}+\text{resto}$

Pelo enunciado, quando dividimos $\text{N}$ por $13$ obtemos quociente $\text{A}$ e resto $\text{B}$

Ou seja, $\text{N}=13\text{A}+\text{B}~~(i)$

Note que $0<\text{B}<13$, pois $\text{B}$ é o resto de uma divisão não exata por $13$.

Além disso, quando dividimos $\text{N}$ por $5$ obtemos quociente $\text{B}$ e resto $\text{A}$

Isto é, $\text{N}=5\text{B}+\text{A}~~(ii)$

Observe que $0<\text{A}<4$, pois $\text{A}$ é o resto de uma divisão não exata por $4$.

Igualando $(i)$ e $(ii)$:

$13\text{A}+\text{B}=5\text{B}+\text{A}$

$13\text{A}-\text{A}=5\text{B}-\text{B}$

$12\text{A}=4\text{B}$. Simplificando por $4$:

$\dfrac{12\text{A}}{4}=\dfrac{4\text{B}}{4}$

$3\text{A}=\text{B}$

Como $0<\text{A}<4$, temos três possibilidades:

$\bullet~~\text{A}=1~\longrightarrow~\text{B}=3\cdot1~\longrightarrow~\text{B}=3$

$\text{N}=5\text{B}+\text{A}~\longrightarrow~\text{N}=5\cdot3+1~\longrightarrow~\text{N}=15+1~\longrightarrow~\text{N}=16$


$\bullet~~\text{A}=2~\longrightarrow~\text{B}=3\cdot2~\longrightarrow~\text{B}=6$

$\text{N}=5\text{B}+\text{A}~\longrightarrow~\text{N}=5\cdot6+2~\longrightarrow~\text{N}=30+2~\longrightarrow~\text{N}=32$


$\bullet~~\text{A}=3~\longrightarrow~\text{B}=3\cdot3~\longrightarrow~\text{B}=9$

$\text{N}=5\text{B}+\text{A}~\longrightarrow~\text{N}=5\cdot9+3~\longrightarrow~\text{N}=45+3~\longrightarrow~\text{N}=48$

A resposta é $16+32+48=96$

$\text{Alternativa D}$