Question

O número de triângulos no Triângulo de Sierpinski, para cada iteração, forma uma lei. A lei que forma o número de triângulos na n(enésima) iteração é?:

Answer 1

Resposta:

A lei de formação de um Triângulo de Sierpinski é dada pela expressão:

$T_n=2\cdot 3^n-1$

Explicação passo a passo:

Um Triângulo de Sierpinski (Matemático polonês que foi o primeiro a desenvolver esta estrutura geométrica) é um fractal formado a partir de um triângulo equilátero onde unindo os pontos médios dos lados do triângulo formamos outros triângulos equiláteros repetindo esse processo de iteração. Como mostrado na figura abaixo.

Sejam $T_i$ o número de triângulos após i iterações formando a seguinte sequência:

$(1,5,17,53,\ldots)$

Assim, podemos escrever os termos da sequência por meio de uma recorrência da seguinte forma:

$T_0=1\\\\T_1=T_0+4\\\\T_2=T_1+4\cdot3\\\\T_3=T_2+4\cdot 3^2\\\\T_4=T_3+4\cdot 3^3\\\\\vdots\\\\T_n=T_{n-1}+4\cdot 3^{n-1}$

Aplicando a soma telescópica (somando termo a termo em ambos os lados) teremos:

$T_n=1+4+4\cdot 3+4\cdot 3^2+4\cdot 3^3+\ldots +4\cdot 3^{n-1}\\\\T_n=1+4\cdot \underbrace{(1+3+3^2+3^3+\ldost +3^{n-1})}_{soma \ de \ uma \ PG}\\\\T_n=1+4\cdot \dfrac{(3^n-1)}{3-1}\\\\T_n=1+2\cdot 3^n-2\\\\T_n=2\cdot 3^n-1$