Question

O número de soluções reais da equação logx (x + 3) + logx (x − 2) = 2 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Anacarolina, que a resolução é simples. Depende apenas de conhecimento sobre propriedades logarítmicas, sobre condições de existência de expressões logarítmicas, além da definição de logaritmo.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) É pedido o número de soluções reais da equação logarítmica abaixo:

logₓ (x+3) + logₓ (x-2) = 2

ii) Vamos primeiro encontrar quais são as condições de existência da expressão logarítmica acima, tanto em relação à base "x", quanto aos logaritmandos "x+3" e "x-2". Assim teremos:

ii.1) Quanto à base "x": a base de logaritmos tem que ser positiva (>0) e, além disso, tem também que ser diferente de "1" (≠ 1). Assim, quanto à base "x" deveremos ter isto:

x > 0 e x ≠ 1 <---- Estas são as duas condições de existência quanto à base.

ii.2) Quanto aos logaritmandos: como só existe logaritmo de números positivos (>0), então deveremos impor que os dois logaritmandos devam ser positivos, ou seja, deveremos ter isto para cada um dos logaritmandos "x+3" e "x-2":

x+3 > 0
x > -3
e
x-2 > 0
x > 2

Agora veja: quanto aos logaritmandos deveremos ter que x > -3 e x > 2. Entre "x" ser maior do que "-3" e ser maior do que "2", então vai prevalecer esta última hipótese, pois sendo x > 2 já o será maior do que (-3). Então vai prevalecer, quanto aos logaritmandos a condição de existência de que "x" terá que ser, forçosamente, maior do que "2".
E se você fizer a comparação com as condições de existência quanto à base "x", que vimos que x > 0 e que x ≠ 1, então também vai prevalecer a condição de existência de x > 2 (vista quanto aos logaritmandos), pois sendo x > 2 já será maior do que zero e também já será diferente de "1".
Então, vai prevalecer uma única condição de existência que será:

x > 2 ---- Esta é a única condição de existência prevalecente para a expressão logarítmica da sua questão.

iii) Agora, como já sabemos quais são as condições de existência da expressão logarítmica da sua questão, então vamos trabalhar com ela. Vamos repetir a expressão da sua questão, que é esta:

logₓ (x+3) + logₓ (x-2) = 2 ---- vamos transformar esta soma em produto (que é uma propriedade logarítmica). Fazendo isso, teremos:

logₓ [(x+3)*(x-2)] = 2 ---- agora veja: se aplicarmos a definição de logaritmo, o que temos aí em cima é a mesma coisa que:

x² = (x+3)*(x-2) ---- efetuando este produto, teremos:
x² = x²-2x+3x-6 ----- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro, temos:
x² = x² + x - 6 ---- passando tudo o que tem "x" para o 1º membro, ficaremos com:
x² - x² - x = - 6 ---- reduzindo novamente os termos semelhantes, teremos:
- x = - 6 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos com:
x = 6 <--- Esta é a resposta. E veja que sendo a resposta x = 6, então ela está obedecendo à condição de existência que, como já vimos, é x > 2.

iv) Finalmente, agora vamos para a resposta que a questão pede, que é esta: qual é o número de soluções da expressão logarítmica dada. Como vimos, só há uma solução, que é x = 6. Logo, o número de soluções será:

1 <--- Esta é a resposta. Opção "b". Ou seja, a expressão logarítmica da sua questão tem apenas uma única solução, que é a que encontramos (x = 6).

É isso aí.
Deu pra entender  bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

O número de soluções reais da equação é 1, alternativa B.

Logaritmos

Pela definição de logaritmo, sabemos que a base do logaritmo elevado ao resultado do mesmo é igual ao logaritmando, ou seja:

logₐ x = b

aᵇ = x

A equação dada é:

logₓ (x + 3) + logₓ (x - 2) = 2

Podemos reescrever essa equação utilizando o logaritmo do produto:

logₐ x·y = logₐ x + logₐ y

logₓ (x + 3)(x - 2) = 2

logₓ x² + x - 6 = 2

Pela definição de logaritmo, temos:

x² = x² + x - 6

x - 6 = 0

x = 6

Portanto, existe uma única solução para a equação.

Leia mais sobre logaritmos em:

https://brainly.com.br/tarefa/18944643

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