Question

O número de soluções inteiras da equação x + y + z + w + k = 24 com x > 5, y > 3, z > 2 e k ≥ 1 é :

A) 516 B) 720 C) 840 D) 1001 E) 1120​

Answer 1

A equação dada possui 1001 soluções inteiras não negativas.

Combinações Completas

Para determinar as soluções inteiras não negativas da equação

$x+y+z+w+k=24$ bastaria determinar as combinações completas de 24 elementos tomados 5 a 5 que é uma das técnicas de contagem em Análise Combinatória.

$CR_{n}^{p}=C_{n+p-1}^{p-1}$

$CR_{24}^{5}=C_{28}^{4}$

Porém queremos as soluções que satisfaçam as seguintes condições:

• $x > 5$ podemos fazer $x=a+6$;
• $y > 3$ fazemos $y=b+4$;
• $z > 2$ basta fazer $z=c+3$;
• $k\geq 1$ podemos fazer $k=d+1$.

tal que $a,b,c,d\geq0$.

Por exemplo, se $b=0$, $y=4 > 3$ satisfazendo a condição do problema.

Substituindo as mudanças de variáveis na equação dada teremos:

$a+6+b+4+c+3+w+d+1=24\\\\a+b+c+d+w=10$

Resolvendo a equação acima pelas combinações completas temos:

$CR_{10}^{5}=C_{14}^{4}=\dfrac{14!}{10!\cdot 4!}=\dfrac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10!}{10!\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=1001$

Para saber mais sobre Combinações Completas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/50582079

#SPJ1