Question

O número de soluções da equação sen4 x + cos4 x = 1, satisfazendo a condição 0 ≤ x < 2π é:
a)0
b)1
c)2
d)4
e)infinito

Answer 1

No intervalo $0\leq x<2\pi$, as soluções de :

$Sen^4(x)+Cos^4(x) =1$

Vamos pegar a relação fundamental da trigonometria e elevar ao quadrado.

$[Sen^2(x)+Cos^2(x)]^2 = 1 ^2$

$Sen^4(x)+Cos^4(x) +2.Sen^2(x).Cos^2(x) = 1$

substituindo

$\displaystyle \frac{Sen^2(2x)}{4} = Sen^2(x).Cos^2(x)$

ficando :

$\displaystyle Sen^4(x)+Cos^4(x) +\frac{2.Sen^2(x)}{4} = 1$

$\displaystyle Sen^4(x)+Cos^4(x) = 1 - \frac{Sen^2(x)}{2}$

voltando na equação original e substituindo :

$Sen^4(x)+Cos^4(x) =1$

$\displaystyle 1 - \frac{Sen^2(2x)}{2} = 1$

$Sen^2(2.x) = 0$

$Sen(2x) = 0$

Nosso intervalo é para X e achamos o resultado em 2X, então vamos multiplicar o intervalo por 2 e achar as soluções :

$0\leq x< 2\pi \to \boxed{0\leq 2x< 4\pi }$  

Soluções de $Sen(2x) = 0$, no intervalo $0\leq 2x<4\pi$  são :

$\huge \boxed{x = 0 \ , \ x = \pi \ , \ x = 2\pi \ , \ x = 3\pi }$

4 soluções.

Letra D