Question

O numero de soluções da equação sen x + raiz de 3 con x = 2 contidas no intervalo de [0;2pi] é?

Answer 1

Primeiro, vamos isolar $senx$:

$senx+ \sqrt{3}cosx=2$ ⇒ $senx = 2- \sqrt{3}cosx$

Substituindo $senx$ na relação fundamental da trigonometria $sen^2x+cos^2x=1$ obteremos o seguinte:

$sen^2x+cos^2x=1$ ⇒ $(2 -\sqrt{3}cosx)^2+cos^2x=1$ ⇒ $4 -4\sqrt{3}cosx+3cos^2x+cos^2x=1$ ⇒ $4cos^2x-4 \sqrt{3}cosx+3=0$ ⇒ $(cosx=t)$ ⇒ $4t^2-4 \sqrt{3}t +3=0$

Δ = $b^2-4ac$    e    $t= \frac{-b+- \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Δ = $b^2-4ac = (-4 \sqrt{3})^2-4.(4).(3) = 48-48=0$

$t'=t''= \frac{-(-4 \sqrt{3})+- \sqrt{0}}{2.(4)} = \frac{4 \sqrt{3} }{8} = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Assim, $cosx= t =\frac{ \sqrt{3} }{2}$

Substituindo $cosx= \frac{ \sqrt{3} }{2}$ em $senx = 2- \sqrt{3}cosx$ teremos:

$senx = 2- \sqrt{3}cosx = 2- \sqrt{3}( \frac{ \sqrt{3} }{2})=2- \frac{3}{2}= \frac{4-3}{2}= \frac{1}{2}$

Como $cosx= \frac{ \sqrt{3} }{2}$ e $senx= \frac{1}{2}$, deduz-se que a equação admite apenas uma solução no intervalo $[0;2 \pi ]$ que é:

$x= \frac{ \pi }{6}$.