Question

o número de soluções da equação cos(2x) =2cos(x), no intervalo de 0=x<2π

Answer 1

$\cos 2x=2\cos x~~~~~~(\text{mas }\cos 2x=2\cos^2 x-1)\\\\ 2\cos^2 x-1=2\cos x\\\\ 2\cos^2 x-2\cos x-1=0$


Faça a seguinte mudança de variável:

$\cos x=t~~~~(-1\le t\le 1)$


e a equação fica

$2t^2-2t-1=0~~~\Rightarrow~~\left\{ \!\begin{array}{l} a=2\\b=-2\\c=-1 \end{array} \right.$

$\Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-2)^2-4\cdot 2\cdot (-1)\\\\ \Delta=4+8\\\\ \Delta=12\\\\ \Delta=2^2\cdot 3$

$t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ t=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{2^2\cdot 3}}{2\cdot 2}\\\\\\ t=\dfrac{2\pm 2\sqrt{3}}{2\cdot 2}\\\\\\ t=\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot \big(1\pm \sqrt{3}\big)}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 2}\\\\\\ t=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}$

$t=\dfrac{1\pm \sqrt{3}}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}&~\text{ou }~&t=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}~~(\text{n\~ao serve}) \end{array}$


Veja que

$\bullet\;\;\1+\sqrt{3}>2\\\\\\ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}>1~~~~~~(\diagup\!\!\!\!\!\diagdown)\\\\\\\\ \bullet\;\;-2\le 1-\sqrt{3}<0\\\\\\ -1\le \dfrac{1-\sqrt{3}}{2}<0~~~~~~(\checkmark)$


Então o único valor que $t$ pode assumir é

$t=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$


Voltando à variável $x,$

$\cos x=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$


Queremos encontrar valores de $x$ no intervalo $[\,0,\,2\pi)$ cujo valor do cosseno seja $\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}.$


Sabemos que este é um valor negativo, logo temos dois arcos que satisfazem a equação:

Um no 2º quadrante, e outro no 3º quadrante (nesses quadrantes, o cosseno é negativo)


Resposta: Existem exatamente duas soluções para a equação dada no intervalo $[\,0,\,2\pi).$


Bons estudos! :-)