Question

o numero de raizes da equação cos x + sen x = 0? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

Dada a equação trigonométrica:

$\mathsf{cos\left(x\right)+sen\left(x\right)=0}$

Manipulando a equação dividindo as 2 parcelas por $\mathsf{cos\left(x\right)}$:

$\\\\\\\mathsf{\dfrac{cos\left(x\right)+sen\left(x\right)}{cos\left(x\right)}=\dfrac{0}{cos\left(x\right)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{cos\left(x\right)}{cos\left(x\right)}+\dfrac{sen\left(x\right)}{cos\left(x\right)}=0}\\\\\\\mathsf{1+tg\left(x\right)=0}\\\\\\\mathsf{tg\left(x\right)=-1}$

Lembrando que o angulo cuja tangente tem como resultado o 1 é o angulo de 45°. Ou seja:

$\mathsf{tg\left(45^{\circ }\right)=1}\\\\\mathsf{\: \: \: \: \: \: \: ou}\\\\\mathsf{arctg\left(1\right)=45^{\circ }=\frac{\pi }{4}\:rad}$

Assim, a tangente cuja o valor vale -1 é:

$\mathsf{tg\left(x\right)=-1}\\\mathsf{x=arctg\left(-1\right)}\\\mathsf{x=-arctg\left(1\right)}\\\mathsf{x=-45^{\circ }}\\\mathsf{x=360^{\circ }-45^{\circ }}\\\mathsf{x=315^{\circ }}$

Reduzindo o ângulo 315°, teremos o seu correspondente (circulo trigonométrico):

$\mathsf{315^{\circ }-180^{\circ }}\\\mathsf{135^{\circ }}\\\mathsf{}\\\mathsf{}$

Convertendo para radianos:

$\mathsf{135^{\circ }=\dfrac{135^{\circ }\cdot \pi }{180}\:rad=\dfrac{3\pi }{4}\:rad}$

Logo, a solução da equação é:

$\boxed{\mathsf{S=\left\{x\in \mathbb{R}\:,\:x=\frac{3\pi }{4}+k\pi \right\}}}\: \: \checkmark$