Question

O número de pares ordenados (x,y) , com x e y inteiros , que satisfazem a desigualdade
x² + y² - 8x + 11 ≤ 0 é igual a :

-> Gostaria que quem for resolver a questão propusesse uma maneira diferente da qual eu fiz ( abra o anexo para ver como eu fiz ) e que seja de uma maneira mais direta

Answer 1

Descobrindo o raio da circunferência do desenho e as coordenadas do seu centro ⇒

Só analisando a figura já da para saber que o raio é √5 e as coordenadas do centro são C (4,0), mas comprovando isso matematicamente:

Para acharmos o X e o Y da circ. pegamos os termos que acompanha o "x" e o "y" na geral e dividimos por -2 (chamarei esses termos de a e b, respectivamente)...

Xc = a/-2 (Sendo a = -8)
Xc = -8/-2 
Xc = 4 ⇒ Esta é a abscissa do centro !

Como não há "y" na geral, então b = 0 e consequentemente Yc = 0.
Logo, C = (4,0)...

Achando o raio ⇒
Temos que R = √(Xc² + Yc² - z) , onde z é o termo independente da geral... Sendo z = 11, Xc = 4 e Yc = 0, então:

R = √(4² - 11)
R = √(16 -11)
R = √5 ...

Por fim, escrevendo a reduzida dessa circ. da figura ⇒
(x - Xc)² + (y - Yc)² = R² (Sendo Xc = 4, Yc = 0 e R = √5)

(x - 4)² + (y)² = 5 ⇒ Esta é a reduzida da circ. !
Há o sinal de desigualdade ali na geral, então a restrição do ex. é ⇒
(x - 4)² + (y)² ≤ 5

Agora, temos que achar os pares ordenados (x,y) que respeitem a condição (x - 4)² + (y)² ≤ 5 ...
Lembrando de duas coisas: esses pares são números inteiros e que têm que estar dentro dos limites da circunferência em questão, pois senão extrapolariam a restrição !

descobrindo os limites para x e para y :
Analisando a figura, temos que o ponto mínimo de x (x min.) deve estar dentro de 4-√5 e o ponto máximo de X (x máx). deve estar dentro de 4+√5, que são as distâncias do centro à circunferência considerando o plano.

x min: 4 - √5 ≈ 4 -2,236 ≈ 1,764 
x. máx: 4 + √5 ≈ 4 + 2,236 ≈ 6,236
como x min.   e x. máx têm que ser inteiros e devem estar no intervalo {1,764; 6,236}, então x.min = 2 e x. máx = 6

O ponto mínimo de y (y. min) deve estar dentro de -√5 e o ponto máximo de y (y. máx) deve estar dentro de √5, já que o Y da circ. é 0 e então não interfere na análise em relação ao plano.

y.min: -√5 ≈ -2,236
y. máx: √5 ≈ 2,236

como y min.   e y. máx têm que ser inteiros e devem estar no intervalo {-2,236; 2,236}, então y.min = -2 e y. máx = 2 

Possíveis valores para x = {2,3,4,5,6}
Possíveis valores para y = {-2,-1,0,1,2}

Pela restrição (x - 4)² + (y)² ≤ 5...
Se x = 6, então:
(6-4)² + y² ≤ 5 
 2²  + y² ≤ 5 
 y² ≤ 5 - 4 
 y² ≤ 1 
 y ≤ +-1... logo, temos pelo intervalo, são 3 valores possíveis {-1,0,1} e então 3 possibilidades. 
Se x = 5, então: 
(5-4)² + y² ≤ 5
1² + y² ≤ 5
y² ≤ 5 - 1
y² ≤ 4
y ≤ +-2... logo, temos pelo intervalo, são 5 valores possíveis {-2,-1,0,1,2} e então 5 possibilidades. 
Se x = 4, então: 
(4-4)² + y² ≤ 5
y² ≤ 5
y ≤ +-2,236... novamente, teremos 5 possibilidades {-2,-1,0,1,2}.
Se x = 3, então:
(3-4)² + y² ≤ 5 
-1² + y² ≤ 5
1 + y² ≤ 5
y² ≤ 4
y ≤ +-2...  novamente, teremos 5 possibilidades {-2,-1,0,1,2}.
Por fim, se x = 2, então:
(2-4)² + y² ≤ 5
-2² + y² ≤ 5
4 + y² ≤ 5
y² ≤ 1
y ≤ +-1... pelo intervalo, temos 3 valores possíveis {-1,0,1} e então 3 possibilidades.

Somando as possibilidades, temos 3 + 5 + 5 + 5 + 3 = 21 possibilidades...