O número de parafusos B produzidos por uma casa de fundição varia de acordo com
o modelo dB/dt=250t/√t^2+36
; 0 ≤ t ≤ 40 em que t é medido em horas. Determine o número de parafusos produzido em 8 horas.
Soluções para a tarefa
Olá, bom dia.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.
O número de parafusos produzidos por uma casa de fundição varia de acordo com o modelo:
, em que
é medido em horas.
Devemos determinar o número de parafusos produzidos em horas.
Primeiro, considere que buscamos o número de parafusos produzidos desde o instante ao instante
.
O número de parafusos produzidos nesse intervalo é numericamente igual a área sob a curva do gráfico da função modelada. Para encontrá-la, resolveremos a integral:
Substitua com o dado cedido pelo enunciado
Faça uma substituição . Diferenciamos ambos os lados da igualdade de modo a encontrarmos o diferencial
.
Aplique a regra da cadeia: , em que
Aplique a regra da soma:
Aplique a regra da potência: e lembre-se que a derivada de uma constante é igual a zero
Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial
Divida ambos os lados da igualdade por um fator
Lembre-se que ao realizarmos uma mudança de variáveis por substituição, os limites de integração mudam de acordo com a expressão: quando e quando
.
Então, substituindo estes dados na integral, teremos:
Simplifique a fração no integrando por um fator
Aplique a regra da constante:
Reescreva o radical como uma potência de expoente fracionário: e a fração como uma potência de expoente negativo:
Aplique a regra da potência:
Some os valores no expoente e denominador e calcule a fração de frações
Multiplique os termos
Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule os radicais
Some e multiplique os valores
Este é o número de parafusos produzidos em horas nesta casa de fundição de acordo com o modelo apresentado.