Question

O numero de ouro ( ϕ) tem como valor exato ϕ=1+√5 /2 . Mostre que ϕ+1= ϕ2

Answer 1

Usando produtos notáveis, propriedades dos números reais e transitividade da igualdade, mostra-se que

$\Large\phi+1=\phi^2,$

em que $\phi$ é o número de ouro.

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Para a resolução dessa questão, supondo $a,\,b,\,c\in\mathbb{R},$ vamos usar o seguinte produto notável, conhecido como o qudrado da soma de dois termos:

$\Large(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$

Além disso, vamos usar a propriedade transitiva da igualdade, a qual diz que se $a=b$ e $b=c,$ então $a=c.$

Desse modo, segue que:

$\Large\begin{aligned}\phi+1&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1\\\\&=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{2}\\\\&=\dfrac{1+\sqrt{5}+2}{2}\\\\&=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}$

Logo,

$\Large\boxed{\phi+1=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}\quad(\ast)$

Calculemos agora o quadrado do número de ouro:

$\Large\begin{aligned}\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2&=\dfrac{\left(1+\sqrt{5}\right)^2}{2^2}\\\\&=\dfrac{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}{4}\\\\&=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}\\\\&=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}\\\\&=\dfrac{2\left(3+\sqrt{5}\right)}{4}\\\\&=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}.\end{aligned}$

Assim,

$\Large\boxed{\phi^2=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}\quad(\ast\ast)$

Comparando as igualdades $(\ast)$ e $(\ast\ast)$ e usando transitividade, conclui-se que:

$\Large\boxed{\boxed{\phi+1=\phi^2.}}$

Para aprender mais, acesse os links a seguir:

• Propriedade transitiva da igualdade:

       brainly.com.br/tarefa/5843639.

• Quadrado da soma de dois termos:

       brainly.com.br/tarefa/46801029