Question

o numero de elementos da pg (8,32...2elevado11) é de

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jorge, que a resolução é simples.
Pede-se o número de elementos (ou de termos) da PG que tem a seguinte conformação:

(8; 32; ......; 2¹¹)

Antes de iniciar, veja que 8 = 2³; e que 32 = 2⁵ . Assim, fazendo as devidas substituições, então a nossa PG  poderá ser reescrita assim:

(2³; 2⁵; .....; 2¹¹)

Fica bem fácil de ver que a PG acima terá apenas 5 termos (ou elementos), pois complementando com os demais termos, teríamos isto:

(2³; 2⁵; 2⁷; 2⁹; 2¹¹)

Note que se trata de uma PG cujo primeiro termo é igual a "8" (ou 2³) e cuja razão é igual a 4 (ou 2²), pois: 2¹¹/2⁹ = 2⁹/2⁷ = 2⁷/2⁵ = 2⁵/2³ = 2² (ou 4).

Contudo, se a PG fosse muito extensa, não teríamos tido essa extrema  facilidade que tivemos pra ver qual seria o formato da PG da sua questão.
Por isso é recomendável sempre utilizarmos a fórmula do termo geral de uma PG para sabermos uma série de informações sobre ela.
A fórmula do termo geral de uma PG é esta:

an = a₁*qⁿ⁻¹

Na fórmula acima "an" é o termo que se quer encontrar. Como queremos encontrar "n" em função do último termo (2¹¹), então substituiremos "an" por "2¹¹". Por sua vez, substituiremos "a₁" por "8" (ou por 2³), que é o valor do primeiro termo. E, finalmente, substituiremos "q" por "4" (ou 2²), que é valor da razão da PG. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

2¹¹ = 2³*(2²)ⁿ⁻¹ ----- vamos apenas inverter, ficando:
2³*(2²)ⁿ⁻¹ = 2¹¹ ----- vamos isolar (2²)ⁿ⁻¹ , com o que ficaremos:
(2²)ⁿ⁻¹ = 2¹¹/2³ ----- note: no 2º membro temos uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

(2²)ⁿ⁻¹ = 2¹¹⁻³
(2²)ⁿ⁻¹ = 2⁸------- desenvolvendo, teremos:
2²*⁽ⁿ⁻¹⁾ = 2⁸ ----- continuando o desenvolvimento, temos:
2²ⁿ⁻² = 2⁸ ---- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

2n - 2 = 8
2n = 8+2
2n = 10
n = 10/2
n = 5 <---- Esta é a resposta. A PG da sua questão tem 5 termos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.