Question

O número de duplas que podemos formar para uma partida de tênis comum, considerando que dispomos de 6 atletas, é?

Answer 1

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos em que estamos envolvidos, podemos concluir que o número de duplas que podemos formar para um jogo de tênis comum considerando que temos 6 atletas é igual a 15.

Para este exercício devemos envolver nosso conhecimento sobre análise combinatória.

Lembremos que a combinação é um método usado em estatística que consiste em encontrar o número de maneiras que determinados elementos podem ser selecionados de um conjunto de dados.

Diferença entre combinações e permutações.

Embora o conceito geral de combinação e permutação possa ser muito semelhante e, portanto, confundido, a principal diferença entre combinação e permutação é que na combinação a ordem dos elementos selecionados não importa, isso significa que a no caso em que os elementos são os mesmos, eles serão considerados como o mesmo cenário, independentemente da ordem em que os elementos estão.

Em nosso problema, queremos saber o número de duplas que podemos formar com 6 atletas, mas parece que a ordem não importa para nós e, como a ordem não importa, é possível aplicar as combinações.

As combinações podem ser determinadas pela fórmula:

$C _{n,k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

Onde:

$\begin{cases}\sf C_{n,k}:N\'umero ~de ~combinac_{\!\!,}\tilde{\sf o}es.\\ \sf n: N\'umero~ total~ de ~objetos~ no ~conjunto. \\ \sf k: N\'umero~ de ~maneiras ~de ~escolher~ os~ objetos ~do ~conjunto.\end{cases}$

Analisando novamente o problema podemos ver que são 6 atletas no total, isso significa que temos 6 objetos em nosso conjunto e como queremos formar pares, o número de escolha dos objetos no conjunto é igual a 2, então substituindo n para 6 e k para 2 podemos obter a expressão:

$C _{6,2} = \dfrac{6!}{2!(6-2)!}$

Vamos relembrar nosso conhecimento sobre fatoriais para simplificar a expressão, por definição o fatorial de um inteiro positivo n, o fatorial de n ou n fatorial é definido em princípio como o produto de todos os inteiros positivos de 1 a n, sendo eo fatorial representado pelo sinal "!".

Primeiro vamos desembrulhar o fatorial 6, vamos pegar o produto de todos os inteiros positivos antes de 6.

$C _{6,2} = \dfrac{6\cdot 5\cdot 4!}{2!\cdot 4!}$

• Eliminando termos semelhantes da nossa expressão:

$C _{6,2} = \dfrac{6\cdot 5\cdot \not\!\!4!}{2!\cdot \not\!\!4!} \\\\\\ C _{6,2} = \dfrac{6\cdot 5}{2!}$

Tomando o produto de todos os inteiros antes de 2, em outras palavras, desembrulhando o fatorial 2:

$C _{6,2} = \dfrac{30}{2\cdot 1}\\\\\\ C_{6,2} =\dfrac{30}{2} \\\\\\ \boxed{C_{6,2} = 15 }\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta }$