Question

O número de diagonais de um polígono regular é o triplo do número de seus lados
Determine:
a) O número de lados deste poligono
b) O numero de suas diagonais
c) A soma das medidas dos ângulos internos

Answer 1

a)

Eu nunca sei a fórmula da diagonal de um polígono eu sempre penso na análise combinatória dos lados

$d=\frac{n}{lados}*\frac{(n-3)}{lados}$

mas temos que desconsiderar a ordem, não importa se eu pegar o lado A e ligar no B ou se eu pegar o lado B e ligar no A, portanto vamos dividir por 2!

$d=\frac{n*(n-3)}{2!}$

dai o exercício diz que:

$d=3n$

substituindo

$\frac{n*(n-3)}{2!}=3n$

$n*(n-3)=6n$

$n^2-3n=6n$

$n^2-9n=0$

$n*(n-9)=0$

$n=0~~ou~~n=9$

Portanto

$\boxed{\boxed{n=9~lados}}$

b) Usando a fórmula que foi deduzida

$d=\frac{n*(n-3)}{2}$

$d=\frac{9*(9-3)}{2}$

$\boxed{\boxed{d=\frac{9*6}{2}=27~diagonais}}$

c) Não sei também qual é a fórmula dos ângulos internos, mas sei que a soma dos ângulos externos de qualquer polígonno é $360^o$ desta forma é simples.

$S_e=A_e*n$

$A_e=\frac{360^o}{n}$

desta forma

$A_e=\frac{360^o}{9}=40^o$

Agora sabendo também que

$A_e+A_i=180^o$

$A_i=180^o-40^o$

$\boxed{A_i=140^o}$

$S_i=A_i*n$

$S_i=140^o*9$

$\boxed{\boxed{S_i=1260^o}}$

Answer 2

Eu nao sou muito bom nessa matéria mas vou tentar

D = N•(N-3)
          2
NÓS SABEMOS QUE D= 3N
3N= N•(N-3)/2
6N= N•(N-3)
6N= N²-3N
N²- 9N= 0
AI COLOCAMOS EM EVIDENCIA E ELIMINANOS A RAIZ 0
N(N-9)=0
N= 9
AGORA SABEMOS O NUMERO DE LADOS.
O NUMERO DE DIAGONAIS É 3 VEZES ISTO
D= 3N
D=3•9
D=27
AGORA PARA SABER A SOMA DOS ANGULOS INTERNOS NÓS SABEMOS QUE 9 LADOS
(9-2) vezes 180
7 vezes 170
1260 graus totais
dividido por 9=
140°