Question

O número de diagonais de um polígono regular é o triplo de seu número n de lados. Então, que poligono é esse?

Com os Cálculos passo a passo, por favor. ​

Answer 1

✅ O número de diagonais "d" de um polígono regular convexo é a metade do produto entre o número de lados "n" do polígono  e a diferença entre este número de lados e "3", ou seja:

             $\large\displaystyle\begin{gathered}d = \frac{n\cdot(n - 3)}{2} \end{gathered}$

Se o número de diagonais "d" de um polígono é o triplo de seu número de lados "n", então:

                        $\large\displaystyle\begin{gathered}d = 3n \end{gathered}$

          $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{n(n - 3)}{2} = 3n\end{gathered}$

            $\large\displaystyle\begin{gathered} n^{2} - 3n= 2\cdot3n\end{gathered}$

            $\large\displaystyle\begin{gathered}n^{2} - 3n = 6n \end{gathered}$

   $\large\displaystyle\begin{gathered}n^{2} - 3n - 6n = 0 \end{gathered}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}n^{2} - 9n = 0 \end{gathered}$

Neste ponto, chegamos a uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:

                 $\large\begin{cases}a = 1\\b = -9\\c = 0\end{cases}$

Agora devemos calcular o valor de delta. Então:

          $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-9)^{2} - 4\cdot1\cdot0 \end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered} = 81 - 0\end{gathered}$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= 81 \end{gathered}$

Então o valor de delta é:

            $\large\displaystyle\begin{gathered} \Delta = 81\end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2\cdot a} \end{gathered} }$

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-9) \pm \sqrt{81} }{2\cdot1} \end{gathered} }$

               $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{9 \pm9}{2} \end{gathered}$

Desenvolvendo as raízes temos:

     $\Large\begin{cases}n' = \frac{9 - 9}{2} = \frac{0}{2} = 0 \\n'' = \frac{9 + 9}{2} = \frac{18}{2} = 9 \end{cases}$

Portanto, o conjunto solução desta equação é:

                $\large\displaystyle\begin{gathered}S = \{0, 9\} \end{gathered}$

Como o polígono, de fato, é um objeto real então o valor que satisfaz a referida questão é:

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}n = 9 \end{gathered}$

✅ Portanto, o polígono que tem 9 lados chama-se:

        eneágono

Prova:

Se:

                       $\large\displaystyle\begin{gathered}d = 3n \end{gathered}$

      $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{n\cdot(n -3)}{2} = 3n\end{gathered}$

       $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{9\cdot(9 - 3)}{2} = 3\cdot9\end{gathered}$

                 $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{9\cdot6}{2} = 27\end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}\frac{54}{2} = 27 \end{gathered}$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}27 = 27 \end{gathered}$

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