Question

O número de diagonais D de um polígono com n lados é dado pela Fómula D = n.(n-3) sobre 2. A) Quantos lados tem um polígono que possui 5 diagonais ? B) e 27 ?

Answer 1

Boa tarde!
 
 A)Pela própria fórmula:$d=\dfrac{n.(n-3)}{2}$
Temos que o número de diagonais (d) é 5. Vamos substituir.

$5=\dfrac{n.(n-3)}{2}\\ \\ 10= n^2-3n\\ \\ n^2-3n-10=0 \\ \\ \Delta=b^2-4ac\\ \Delta=9+40\\ \Delta=49 \to\sqrt\Delta=7$

Encontramos o valor positivo (já que é o número de lados) que resolve a equação:

$n=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\ \\ n=\dfrac{3+7}{2.1}\\ \\ n=\dfrac{10}{2}\\ \\ \boxed{n=5 \ lados}$
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B) Pelo mesmo raciocínio da questão anterior:

$27.2 = n.(n-3)\\ \\ 54 = n^2-3n\\ \\ n^2-3n-54=0\\ \\ \Delta=9+216\\ \Delta=225 \to\sqrt\Delta=15 \\ \\ n=\dfrac{3+15}{2}\\ \\ n=\dfrac{18}{2}\\ \\ \boxed{n=9}$

Qualquer dúvida, comente!

Answer 2

Dorinha,
Nas duas perguntas, só aplicar a fórmula
     
                     $d= \frac{n(n-3)}{2}$

a)
             d = 5
                             $5= \frac{n(n-3)}{2} \\ \\ 5x2=n^2-3n \\ \\ n^2-3n-10=0 \\ \\ (n-5)(n+2)=0 \\ \\ n-5=0 \\ n1=5 \\ \\ n+2=0 \\ n2=-2$
 
                             O número de lados de um polígono não pode ser negativo
                              Descartamos n2 = - 2
                              n = 5
                                                            O POLÍGONO TEM 5 LADOS

b) igual anterios
                               $27= \frac{n(n-3)}{2} \\ \\ 54=n^2-3n \\ \\ n^2-3n-54=0 \\ \\ (x-9)(x+6)=0 \\ \\ x-9=0 \\ n1=9 \\ \\ x+6=0 \\ n2=-6$
                                               
                                                            O POLÍGONO TEM 9 LADOS

OBSERVAÇÃO
Nos dois casos, a equação quadrática foi resolvida por fatoração